2015年12月17日—20日，第20届亚洲数学技术大会（ATCM2015）在四川省乐山市召开。陕西省西安中学作为教育部普通高中现代文理教育教学实验项目实验学校之一，参与了课题研究，为此，我和课题组主要成员陈晓曙老师受邀参加。

在此次会议上，我竟意外邂逅仰慕已久的著名数学家张景中院士。这位随和的长者询问了我们学校的情况和我的教学以及数学技术应用情况，我一一作答，张老认真聆听。张老说，中学老师能来参加这样高规格的学术会议，难能可贵，足见学校、校长、老师个人能关注数学学科前沿，能适应时代要求。他认为，中学数学教师要致力于使数学变容易，改造数学使之更适合于教学和学习，从而使学生从中受惠。

张老的一席话让我幡然觉悟，如露入心，从教二十余年来孜孜以求的“无痛数学”之路竟与张老的思路不谋而合，这让我异常振奋。

教学即研究：“无痛”数学势在必行

正如张景中院士所言，教师要持续发展，必须努力关注学科前沿，适应时代要求；要坚持教学研究，探索教育规律，提升教育实效，进而将研究的东西整理出来，这是普通教师学者化的进程。

没有专业的素养，就没有专业的地位，教师的专业形象，是由教师的素养、教师的文化、教师的胸怀、教师的智慧等诸多方面综合形成的。就像张景中院士，我们知道他主要从事机器证明、教育数学、距离几何及动力系统等领域的研究，此外，张景中院士还特别喜欢当老师，无论是中学还是大学邀请，他都很乐意去讲。自1980年以来，张院士在发表150多篇(册)学术著作的同时，还撰写了大量的科普文章和通俗读物，1990年被中国科普协会审定为新中国成立以来贡献突出的科普作家之一。他一直把学数学比作吃核桃。“核桃仁要砸开了才能吃到。有些核桃外壳与核桃仁紧密相连，成都人形象地叫‘夹米子核桃’，如果砸不得法，砸开了还很难吃到。数学教育要研究的，就是如何砸核桃吃核桃仁；而教育数学呢，则是要研究改良核桃的品种，让核桃更美味，更有营养，更容易砸开吃净！”

高中的数学事实上是偏难的，课上学得e较容易，考试起来却很难，学生如果只靠课本上的东西，很难考出好成绩，必须补许多课外的东西。而且，由于制度原因，许多老师、学生热衷于奥数，一味地钻研难题、偏题，虽然作为国家级奥林匹克数学竞赛高级教练，但我并不认为奥数是敲开数学殿堂的敲门砖，真正的数学其实是没有技巧的，是笛卡尔推崇的“农民也能理解的数学”。作为一名数学教师，如何让大家望而却步的数学变得亲切、有趣，让数学教学回归真实，让数学“无痛”一直以来都是我教学研究的首要议题。

“无痛”第一针：微课为代表的数字化学习方式

1999年，瑞典斯德哥尔摩皇家技术学院应用数学教授Claes Johnson推出了具有划时代意义的非政府教育改革项目“身体与灵魂”。该项目的思想基础是，整个教育系统的关键原则在于教育是以科学为基础的，因此现在的教育应该建立在现代科学基础之上。而标准数学教育的科学依据建立于19世纪，在20世纪中叶计算机发明之前，如今计算机正在改变着科学、工程学和社会对数学的使用。因此现在的数学教育与现在的科学之间存在脱节，需要进行改革。马丁路德金说，教育的功能是教会人们深入的思考和批判性的思考，究其本质，“身体与灵魂”体现的正是与时俱进的科学发展观。

真理虽然是不变的，但对真理的解读与应用方式应该是与时俱进的。而这正是我致力于推进“无痛”数学教学改革的原因。在今天这个以数字化、多媒体、智能化、网络化为代表的现代信息技术时代，从曾经一笔一画uau的板书，到如今图文并茂的多媒体课件，移动互联网时代在泛化教育，教育不再受时地点的限制，互联网让知识获取更加容易，知识传播速度更快，课程也将进入超个人化时代。这个倡导高考改革、课程改革的时代对我们高中数学教师的教育思想和数学教育模式，提出了新的要求和挑战。

伴随着“可汗学院”、“翻转课堂”、“电子书包”等教学改革项目的开展，在当下“微博”“微信”“微电影”等大行其道的“微时代”，作为学校数学学科组组教研组长，我带领学校一线教师自行开发了源于教师的教育教学实际的微课。通过文献调研、课堂实践、调查访谈、合作交流等方法，明确了微课的设计制作理念：在微课设计上让教师在较短的时间内运用最恰当的教学方法和策略讲清讲透一个知识点，让学生在最短的时间内按自己的学习完全掌握和理解一个有价值的知识点。我们努力将微课这一新生事物应用于辅助高效课堂，挖掘了微课的多种形式和价值，汲取了专家、师生的意见与反馈，收获了令人满意的结果。

微课的制作过程虽然辛苦，但是我们深深地感觉到微课虽然内容“微”，但是一次一个小点，学生看着不累，学起来自主性更强。积少成多，微课达到了四两拨千斤的效果，甚至将课堂“翻转”过来——知识传授通过信息技术的辅助在课前完成，知识内化则在课堂中完成。更令人鼓舞的是，我们的作品《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》在教育部教育管理信息中心开展的第四届全国中小学“教学中的互联网应用”优秀教学案例评选活动暨第一届中国微课大赛中，荣获一等奖的好成绩，是陕西省唯一的一个一等奖。另外，微课《直线的斜率》在西安市新媒体大赛中荣获一等奖。这些成绩的取得让刚刚涉足微课的我们自信心大增。

“无痛”第二针：图形计算器为代表的手持技术

“手持技术在高中数学教学中的应用”是我的国家级课题中的一个子项目，针对的是研究变量之间关系的、抽象的、非常核心的内容——函数。我们知道，传统的教学方式是教师讲完学生练习，学生往往不易接受，而且下来需要很长时间去消化、理解，好些同学较长一段时间的学习过后对函数的认识还是一知半解。而且，在函数学习过程中，函数图象iangi'aniai的直观性对函数的概念和性质的理解起着重要的作用，但教学实践中，由于课时紧张、作图麻烦，教师有时只能直接将结论告知学生。

图形计算器这种掌上数学学习工具具有普通科学计算器所有功能，还具有几何画板、电子表格excel等软件的功能，能方便地绘制各种函数图象iangi'aniai并对图像进行处理，使数学多角度地、直观地呈现出来，给我们的发现提供了较大的探究与实验空间。传统的数学教学和做题经验往往使学生形成“遇到问题一定能通过演算得到精确的结果”的经验，但是实际生活中的问题往往开放得多。真实的数学更注重的是“问题解决策略”，恰当地使用手持技术必将有助于学生更好地理解、记忆和整体把握真实的数学。这个课题从结构、内容、方法、技术四个角度对传统课堂进行了改变，给学生提供了更具针对性的个性化学习支撑，拓宽了学生的学习视界，为创造性学习提供了工具和平台，使学生从知识的消费者转变为知识的生产者，从而在学习过程中收获了愉悦。

2014年9月11日下午，卡西欧公司图形计算器技术推进部工程师卿涛指导西安中学数学学科组全体老师进行了图形计算器使用培训。这是西安中学数学组老师首次接触CASIO手持计算器，如今，通过开展的一系列活动，“普通高中现代文理教育教学实验项目——图形计算器”在我们学生中已经得到了充分的开展、扎实的落实。同时，通过这些活动，使我们的青年教师自发形成了教学实践共同体，实现了资源的共建共享，促进了他们的专业发展，提升了他们的校本研修能力，最终提高了团队研究能力。

“无痛”第三针：让数学成为一种生活工具

“数学太难了。”据说华罗庚先生去世前就说了这么一句话。数学本身确实是难的，中小学是打基础的阶段，作为一名学者型教师要致力于将数学变得简单透明，要把学生从枯燥的公式与概念、单纯的解题技巧、复杂的推理中解放出来，要让学生感到数学是他们成长中的一种“工具”，而且是非常实用、有趣的工具。

增加数学学习的趣味性有两个方向，一种是把科学外的趣味放进来，调剂学习者的心情；另一种是把科学内的趣味发掘出来，是知识本身的趣味让学习变得有趣。我的“无痛”数学课堂上俯拾即是这样的教学片段：

利用投影展示：一条河的两岸平行，河宽。因上游暴发特大洪水，在洪峰到来之前，急需将码头A处囤积的重要物资及留守人员用船尽快转运到正对岸的码头B处或其下游的码头C处，请你确定转运方案。已知船在静水中的速度，水流速度。

这是引入并证明“正弦定理”这一重要概念时的课堂案例，设计意图重在培养学生的“数学起源于生活，运用于生活”的思想意识，同时情境问题的图形及解题思路均为研究正弦定理做铺垫。

之后，我又提出问题：为了确定转运方案，请同学们设身处地地考虑有关的问题，将各自的问题经小组（前后4人为一小组）汇总整理后交给我。

待各小组将问题交给我后，我筛选了几个问题通过投影向全班展示，经大家归纳整理后得到如下的五个问题：

1、船应开往B处还是C处？

2、船从A开到B、C分别需要多少时间？

3、船从A到B、C的距离分别是多少？

4、船从A到B、C时的速度大小分别是多少？

5、船应向什么方向开，才能保证沿直线到达B、C？

此处的问题设计，意图通过小组交流，提供一定的研究学习与情感交流的时空，培养学生合作学习的能力；问题源于学生，突出学生学习的主体性，能激发学生学习的兴趣；问题通过老师的筛选，确定研究的方向，体现教师的主导作用。

接着，我再问：谁能帮大家讲解，应该怎样解决上述问题？

大家经过讨论达成如下共识：要回答问题1，需要解决问题2，要解决问题2，需要先解决问题3和4，问题3用直角三角形知识可解，所以重点是解决问题4，问题4与问题5是两个相关问题。因此，解决上述问题的关键是解决问题4和5。

将问题数学化，有助于加深学生对问题的理解，有助于培养学生的数学意识。通过教师的问题引导，启发了学生将问题进行转化，培养了学生的化归思想，同时为下一步用特例作为突破口来研究正弦定理以及用作高的方法来证明正弦定理做好铺垫。

“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。”这是华罗庚先生对数学与生活的精彩描述。如上所示，老师要带领孩子们从生活中发现数学思想，让数学教学尽可能地接近学生的现实生活与社会生活，让学生发现数学的趣味，意识到生活中处处有数学，数学中也处处有生活的道理，用简单的看图识字的方式去阐释数学，把教材与生活实践联系到一起，从而培养学生热爱数学，学习数学的积极性，那么数学才会逐渐“无痛”。

“无痛”之路道阻且长，桃李不言下自成蹊

“真正的学习都是要下功夫的，想轻松只能学到肤浅的东西。”正如张景中院士跟我说的，我虽然绞尽脑汁想让数学 “无痛”，不过我也不相信学习是轻松的，在寻求真理的路上，唯有学习，不断地学习，勤奋地学习，有创造性地学习，才能越重山，跨峻岭，而人生的至乐正是探索真理的路上那绝处逢生处的希望，是险象环生后的超越。“无痛”课堂的探索本身就是寻求真理的一个过程。在这漫长的探寻之路上有苦苦求索的痛苦，当然也有水滴石穿的收获。这个收获就是我的学生终于在我的努力引导下发现了数学学习的乐趣，从而自发地在兴趣的召唤下忘我地向着科学高峰攀登。

2010年7月，在西安市第二十四届青少年科技创新大赛数学组的比赛中，我指导的高二学生王昱人的课题《旋转式太阳能热水器支架的构想》斩获市级一等奖，省级二等奖。

谁也不会想到这样一个优秀学生平时是不爱做题、不写作业的。起初很多老师提到这个瘦瘦小小的姑娘时都是一筹莫展：“太不听话了。”可是经过我的观察发现，这是一个非常有想法，十分肯钻研的孩子，并引导她按照适合她的方式去学习。当时王昱人家里装了一个旋转式太阳能热水器，但在使用过程中出她发现目前太阳能热水器都是固定安装，不能在不同季节、不同时间随太阳光照射角度达到最大采光面，以至于资源利用率较低，于是她就和作设计师的父亲讨论研究其中的原理，提出了构建一种可随季节时间地点变化角度的支架，从而达到最大采光率这个想法。但起初还只是一些幼稚的想法，需要用数学知识从理论上论证，于是她找到我。

有时候是早读，有时候是下课后，有时候是回家的路上，那段时间，只要她在论证上遇到问题都会第一时间找到我，跟我讨论解决办法，然后再回去认真钻研。经过一个月的反复提炼修改，终于她靠着自己的不懈努力独立撰写了这篇《旋转式太阳能热水器支架的构想》课题论文，并且参加了2009年陕西省科技创新大赛。之后，这篇参赛作品从未央区到了西安市，再到省上，一路绿灯。上报省上时，又联系了做太阳能热水器的厂家进行多次实验。最后，不负众望终于斩获头奖。如今王昱已经在清华度过了5个春秋，正在读研究生。而像她一样个性鲜明需要老师格外地耐心引导的孩子在我这里并不少见，在我的“无痛”数学课堂上，他们都找到了自己的新天地。

英国哲学家怀海特在《教育的目的》一书中说：“在古代学校里，哲学家们渴望传授的是智慧，而现代学校，我们降低了目标，教授的是学科。从神圣的智慧——这是古人向往的目标，沦落到学校教材知识，标志着多少世纪以来教育上的一种失败。”我希望我苦苦探索的“无痛”数学能够挖掘、传递出数学中的大智慧，而砸开数学坚硬的外壳也需要智慧，更需要爱心以及社会环境的支持与帮助。“无痛”之路道阻且长，但我不着急，我会用最大的耐心跟我的同事、学生一起静待他枝繁叶茂。