分类讨论思想是针对具有一般逻辑性、综合性和探究性较强问题，以分类讨论的形式，解决问题的思想。教师在授课中渗透分类讨论思想，可以“化繁就简、化难为易”，帮助学生深入理解抽象的数学理论知识。《义务教育数学课程标准》指出，发展学生的思维能力是促进学生学习进步的有力手段。在教学中渗透分类讨论思想，有利于引导学生发散思维，拓宽学生的认知领域，促进其综合素质发展。目前，在初中数学教学中存在教师忽视培养学生思维能力的问题，原因是在应试教育理念影响之下，教师过度看重习题教学而忽视思想培养。所以，教师应当依据研究对象本质属性的异同，科学渗透分类讨论思想，鼓励学生分类研究和解题，以提高学生思维的条理性和严谨性。在初中数学课程中渗透分类讨论思想，能够让学生的思维得到锻炼，有利于降低抽象数学知识的学习难度，让学生可以针对各种研究对象，以分类的形式讨论问题，使之能够在发散思维的同时，实现学习进步和思维发展。分类源于实际生活，是一种基本逻辑方法，能够帮助学生将抽象、复杂的数学问题直观呈现出来。因此，教师要重视学生分类讨论思想的培养，积极创新教学方式，为分类讨论思想的渗透提供切入点，不断提高数学教学实效。

一、分类讨论思想概述

（一）基本概念

问题的求解途径及其转化方法是相对统一的，按照问题性质及其处理方法，把需要探讨的问题分为若干类，然后转化成若干个小问题并加以处理，从而逐个展开探讨，这就是分类讨论思想。由于数学分析的方法也有其自然形成的环境，因此数学分析手段的范围是相对比较固定的，当学生面临数学分析困难的情况时，其无法采用常规的方式进行解决，因此，利用分类讨论思想就可以将数学问题按照“每级分类、同标准划分”的方式进行分类，循序渐进地进行求解，这种解决方法便是分类讨论。

（二）分类原则

分类讨论思想在实际应用的过程中，需要遵循以下四项原则。第一，同一性原则。我们按照统一标准，将问题进行划分。比如：在三角形分类中，如果将三角形单纯分为锐角、直角、钝角、不等边、等腰三角形，这种分类不符合同一性原则要求，原因是分类的标准要具有同一性。第二，相称性原则。即确保分类相称，在问题划分后，外延的子问题要与原问题相同。第三，互斥性原则。要保证分类后的每个子问题之间互相排斥，避免影响正常解题思路。第四，层次性原则。指按照一次分类与多次分类相结合的方式进行讨论。一次分类是指一次性分类讨论问题，多次分类是将分类后的子问题视作母项，据此再进行分类，直至满足解题需要为止。

（三）讨论类型

在初中数学中，分类讨论主要有以下三种类型。首先，“数、式”的分类讨论。具体包括实数分类、绝对值、算术平方根、函数及图像、函数增减性、函数变量取值范围、含参方程、待定参数的变化范围、含参不等式等。

其次，“三角形”的分类讨论。其中，又细分为三大领域，领域一：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等腰三角形中，与角、边、高有关的分类讨论。领域二：直角三角形问题中，未告知直角边、斜边的，这种问题需要结合实际情况进行讨论。在无法确定直角的情况下，相关问题需要先进行分类讨论，再求解。领域三：在相似三角形中，对应边、对应角不确定的两种情况，也需要分类进行讨论。

最后，“圆”的分类讨论。其中，涵盖点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、两弦与直径的位置关系、弦所对弧的优劣性质。

（四）讨论步骤

初中数学分类讨论的基本步骤如下：第一，确定分类讨论的对象，并分析讨论对象的取值范围。第二，根据相关标准对讨论对象进行合理分类。第三，根据具体的步骤对讨论对象进行论述，逐步解决分类讨论问题。第四，对讨论内容进行对标，并整理出结论。

二、初中数学教学中存在的问题

（一）教学模式相对落后

就初中生而言，数学学习成绩对综合学习情况有直接影响，一些教师为了提高学生的学习成绩，选择“满堂灌”的教学模式，导致学生的探究热情很难被激发，在被动学习中形成消极的固化思维。在相对落后的教学模式中，学生的数学成绩虽然有所提升，但是学生对数学知识结构的了解和掌握并不充分，这不利于他们进行高阶知识的学习，甚至会影响其数学思维的进一步发展。

（二）教学准备工作不足

教学准备工作是决定教学质量的关键因素，一些教师往往只注重数学公式、性质、定理的应用，在备课环节未能着眼于学生的思维发展来设计教案，导致教学准备工作不足，很难帮助学生巩固学习成果，不能有效培养学生的自主学习能力和解决问题能力。

（三）教学缺少情感交流

初中阶段学生正处于思维发展与身心成长阶段，一些教师在教学过程中，只关注学生的成绩，未能重视学生的思维以及心理发展变化，导致师生之间缺乏互动，很难促进教学相长。教师与学生的互动交流减少，会直接影响课堂教学氛围，进而导致学生难以提起与教师主动沟通的欲望，不利于其个性发展。

（四）合作教学流于形式

小组合作学习是培养学生团队意识和提高学习积极性的重要手段，但在具体的实施环节，一些教师未能注重强化引导，导致小组合作学习实效性降低。由于部分初中生缺乏良好的自控能力，其在学习中会产生依赖性，甚至会形成依赖性人格，这一点使小组合作教学流于形式。长此以往，课堂教学氛围看似热闹，学生却无法形成良好的思维品质，不利于促进教学质量提升。

三、分类讨论思想在教学中的渗透意义

（一）提高解题的效率与正确率

分类讨论思想能够帮助初中生在学习数学知识的过程中，综合考量各种问题情况，从而进行合理的分析与讨论，把握正确解题方向，抓住重点因素进行分析和论证，深入考虑问题可能包含的多种情况，由此提高解题的正确率与效率。在应用分类讨论思想的过程中，教师指导学生有意识地对数学内容进行分类和二次研究，甚至能够在论证、整合探究知识的过程中，增强抽象逻辑思维能力。由于初中数学知识内容相对复杂、抽象，学生在解决数学问题的过程中，会面临较大阻碍。因此，在教学中教师要渗透分类讨论思想，提升学生的抽象思维能力，使之能够在教师的指导下分类讨论问题，这有利于提升学生学习探究的精准度，促使其高效解决日常生活中常见的数学问题。

（二）提升思维品质与综合能力

分类讨论思想常用于解决概念、法则、定理问题当中，教师科学渗透分类讨论思想，能够为课堂注入活力，让学生积极主动思考，使之学习思考更具层次性、逻辑性。在分类讨论的过程中，初中生可以自觉形成清晰、明确思路，促进思维品质提升，也能够结合具体情况来进行探讨，明确自我学习状况，结合问题来进行分类讨论，逐步运用所学知识快速、有效地解题，促进思维成长的同时，提高数学综合学习能力。

四、分类讨论思想在初中数学教学中的渗透策略

（一）概念学习，培养分类讨论意识

分类讨论思想可以帮助学生提高问题分析意识，促进数学学习能力的提升。教师要认识到培养学生分类讨论思想的重要性，结合数学教材概念知识，创设能够引发学生思考的情境，科学渗透分类讨论思想，让学生在情境中讨论，不断启发和诱导学生，逐步在学生学习概念的过程中，促进其思维品质的提升，让其能够明确分类讨论思想本质，形成优秀的分类讨论意识。

例如，在讲解华师大版初中数学“一元二次方程”内容的过程中，首先，对于一元二次方程一般式中涉及“ [α≠0]”的规定，教师要引导学生分析“[α=0]”与“[α≠0]”情况下，一元二次方程的变化，让学生在学习中形成良好的分类讨论意识，并明确关于[x]的一元二次方程的限制条件。然后，教师要隐藏“一元二次”四字，引导学生自主分析方程“[mx-（m-1）x-2（3m-1）=0]”

性质以及求解方法。让学生分析经过变形的“概念式”，历经对概念中关键字词及补充条件的理解过程，分“[α=0]”与“[α≠0]”两种情况进行讨论，以理解一元二次方程概念。最后，教师要揭示分类讨论本质，有序、有目的地渗透分类讨论思想，让学生自主建构一元一次方程概念知识，提高分类讨论意识。在此基础上，教师要结合问题中的数量关系，让学生列一元一次方程并尝试求解，学生能够在建构知识和求解的过程中，逐步领悟和接受“分类讨论思想”，也理解“分类标准统一，不得重复或遗漏”的重要性。

（二）理论推导，引领分类讨论原理

在理论推导中渗透的分类讨论思想，可以让学生在掌握数学性质、公理的基础上，自主讨论数学原理，掌握法则、定理、公式的推导方法，形成良好的思维品质。教师要顺应学生的身心发展规律，逐步渗透分类讨论思想，揭示数学性质，引导学生从不同的角度进行分类讨论，从而构建有益于学生思维发展和学习进步的高效数学课堂， 为分类讨论思想的渗透提供不同切入点。

例如，在讲解华师大版初中数学“圆的认识”的过程中，首先，教师可以利用学生熟悉的正比例函数图形性质等问题，引导学生分类进行讨论，使之能够明白分类讨论思想的应用不仅仅局限于特定领域。然后，引申出圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”，让学生结合自己先前对正比例函数图形性质等问题进行思考，分类讨论“根据圆心相对于圆周角的位置，分三类情况进行推导”的意义，由此激发学生学习探究的热情。在学生自主推导的过程中，教师可以利用多媒体直观为其提供与上述问题相关的三种图形，让学生自主画图测量、分类讨论问题，使之能够经历由一般到特殊、从特殊到一般的思维过程，体会分类证明的目的和优点，深入理解圆周角定理。最后，教师要总结学生的推导过程，将分类的依据视为解题的附加条件，引导学生先思考圆心相对于圆周角的不同位置，再根据不同位置推导“一般情况”，引导学生推导弦切角定理，提高学生的分类讨论意识，使之能够体会分类讨论原理的重要性。

（三）单元复习，提炼分类讨论思想

单元复习内容较多，以分类讨论的方式解决实际问题，可以促进复习效率提升，有助于学生提炼分类讨论思想，在反思学习过程时，逐步梳理知识结构，形成优秀的数学思维，养成正确的复习习惯。教师要着眼于学生的基础知识体系构建，引导学生分析所学知识中所蕴藏的数学思想方法，将教材单元小结变为“知识+分类讨论思想”形式的内容，揭示单元数学知识本质规律，帮助学生加以提炼和概括，使之真正掌握分类讨论思想的方法。

例如，在讲解华师大版初中数学“解一元一次不等式”的过程中，首先，教师要引导学生复习一元一次不等式的有关概念，展示一元一次不等式的一般解法，为学生提供不同习题让学生自行求解，并用数轴表示一元一次不等式的解集。让学生在独立思考的基础上，解决相对简单的一元一次不等式问题，在画数轴的过程中，培养其优秀的数形结合思想。然后，教师要运用类比法引导学生分析问题“当[x]为何值时，代数式[x+4]/3与[3x+1]/2的值的差大于1”，使学生通过复习单元知识，懂得解一元一次不等式就是将不等式变形为[“x﹥α（x≥α）]、

[x﹤α（x≤α）”]的过程。最后，教师要引导学生思考一元一次不等式与一元一次方程的联系与区别，在单元复习中提炼分类讨论思想，让学生通过分类思考明白解一元一次不等式的依据，在类比解方程的基础上，深入复习解不等式的一般步骤，形成良好的分类讨论思想，熟练解决一元一次不等式问题。在课后作业中，教师可以布置与单元复习相关的解题作业，密切围绕“提炼分类思想”，让学有余力的学生进行深入探究，鼓励全体学生通过完成作业，逐步形成良好的分类讨论思想，以此加深对所学知识的印象。

（四）解题教学，创新分类讨论方法

“问题是学习数学的出发点和落脚点，学习数学就必须要解题。”在解题教学中渗透分类讨论思想，有益于锻炼学生的数学思维，使之在探究解题规律的过程中，提高创新思维能力。教师要采用一题多解、一提多问的方法，引导学生进行讨论和思考，以培养他们的探究能力。例如，在讲解华师大版初中数学“等腰三角形”的过程中，首先，教师要列举与等腰三角形可变性相关的讨论问题“图形位置不能确定，该如何求解”，并呈现习题“已知在等腰三角形△[CAB]中，[∠ACB=90°，AC=BC=1，]点[P]在斜边[AB]上移动（点不与点[A、B]重合），以P为顶点作[∠CPQ=45°]，射线[PQ]交边[BC]边与点[Q]。[△CPQ]能否是等腰三角形”，学生会尝试统一处理，但会遇到较大困难。此时，教师采取一题多问的方式，提出问题“如果[△CPQ]是等腰三角形，试求出[AP]的长，如果不能，简要说明理由”并引导学生分类讨论，帮助其正确求解，使之能够举一反三。又如，在讲解华师大版初中数学“二次根式”的过程中，教师为学生呈现一道化简习题

，让学生在“由数量大小不确定”引起的讨论中，回忆二次根式性质

，在分类讨论中化一般为特殊，变抽象为具体，将原式化简

，讨论多种解题情况，得到

、无解([x]﹤1）”三种结论，不断提高学生举一反三的能力，实现触类旁通，在应用分类讨论思想的过程中，有清晰的解题思路，继而提高解题效率与正确率。

分类讨论思想作为一种重要的数学思维方式，能够促进初中生的思维能力提升和素质发展。教师应该深刻认识到分类讨论思想对于学生未来创新发展的积极影响，并在确定教学目标和选择教学方法时，着重培养学生的分类讨论思想意识。同时，在结合初中生学习特点和身心发展规律的基础上，采用灵活多样且有效的教学方法进行授课，始终坚持循序渐进的原则，激发学生独立思考的意识，使其能够掌握数学中的分类讨论思想，以此培养学生的创新精神和探索精神。

作者单位   甘肃省天水市秦州区华歧中学