致力于有序的数学教学，不仅仅要关注数学知识之序，还要关注学生的认知心理之序，关注学生的数学学习之序。循知识之序能让学生的数学学习逻辑演进，循心理之序能让学生的数学学习无痕推进，循学习之序能让学生的数学学习不断跃进。作为教师，要善于挖掘与教学关联的教学内容，让学生在观察、动手操作和讨论探究中逐步形成有序思维，让学生的有序学习过程成为学生数学思维、认知和素养发展的过程。

这个世界上的一切事物都向着自身相对有序的状态发展，教学也是如此。从根本上说，教学就是要处理两个方面的问题：一是选材，二是立序。有序，是教学的本真追求。致力于有序的数学教学，不仅要关注数学知识之序，更要关注学生的认知心理之序，关注学生的数学学习之序，等等。有序教学，能促进学生的数学高阶思维等的发展，对提升学生的数学学习力，对发展学生的数学核心素养具有重要的意义和价值。

一、有序教学视野之下对高阶思维的认识

绝大多数情况下，教师对教学的认知都是比较朴素的，在很多教师的认知当中，教学就是教学生学。这样的理解也不能说有错，但是完全拘泥于这一经验性的理解，显然不能让教师触及教学的本质。那么如何才能触及教学的本质呢？笔者以为换一个角度，站在学生的角度去寻找答案，可能会使认知更加准确。学生的学习除了积累知识之外，还有一个很重要的目的就是发展自己的思维。也许大部分学科知识在学生未来的生活当中很难起到直接作用的话，但在学科知识学习过程中形成的思维能力，却可以作用于学生的学习与生活的每一个细节。因此，从这个角度来看，促进学生的思维发展，才是学科教学的根本任务，反映着教学的本质。

当然，对这一判断可能也会有不同的观点，就拿小学数学来说，相信几乎所有的数学教师都会认为自己一直重视学生的思维发展。但是拿学生的学习过程与结果来审视这一判断，可以发现教师对思维的重视往往停留在理论层面，并没有真正落实到日常教学之中。之所以这么说是因为，小学数学教学中的思维培养，不是体现在学生经过重复训练之后获得的解题能力之上，而是体现在学生在陌生的环境里面，能够自然激活已有的知识，准确判断解决问题的方向，准确选择解决问题的工具，对解决问题的过程与结果进行深入的反思。要达到这样的教学效果，传统的小学数学教学模式是有一定困难的，而有效的突破途径就是必须让学生在数学学习的过程中实现高阶思维的发展。

高阶思维是相对于低阶思维而言的，高阶思维的发展不是自然而然的，实践表明，只有在有序的教学状态之下，学生的高阶思维才能得到顺利发展。

所谓有序的教学状态，是指学生的学习表现出有序性。如同上面所指出的那样，世界上任何事物都是有着自身相对的“序”的。此处，“序”表现为知识演绎的基本过程，显示着学科知识演绎的基本规律，对应着学生的学习时间与空间之序。从整体论的角度来看，重视有序的教学，实际上是强调教学的整体性。对教师而言，这也就意味着在设计教学的时候，要考虑具体学科知识演绎的规律，要考虑学生在建构这一知识时会涉及哪些内容，在教学当中要将这些内容有机地体现出来。

在这样的教学之下，再去看学生的思维发展，就可以使学生的高阶思维得到切实有效的培养。其中的原因在于，当追求教学之序的时候，学生的思维会表现出逻辑性、条理性，学生的思维与具体的问题之间会形成匹配度较高的关系，这使得学生的思维具有明确的问题解决指向。很显然这样的思维水平超越低阶思维层面走向高阶思维。

二、循知识之序，使学生的数学学习逻辑更完善

高阶思维是相对于低阶思维而言的，当学生运用低阶思维的时候，思维的对象相对简单，思维的方式相对熟悉；相应地在运用高阶思维的时候，思维对象的复杂使得学生会摸索、选择相对不熟悉的思维方式，而且是多种复杂的思维方式进行思维。从低阶思维走向高阶思维的过程，就是学生的思维能力得到发展的过程。在高阶思维当中，逻辑思维是一个重要的组成部分，著名特级教师吴正宪老师说，知识的传授应当立足于知识的逻辑发展。学生的数学学习应当是循序渐进的，循知识之序，能让学生的数学学习获得逻辑演进。教学汇总时，教师要对数学知识进行逻辑梳理、抽象和概括，形成数学知识链，让学生按照这一知识链的节点，有序学习数学。相对于碎片化、无序孤立式的数学学习而言，有机的、有序的数学学习，更能提升学生的数学学习效率。有序的知识链从某种意义上说，就是数学知识的DNA，有力地促进学生数学素养的生成。

知识的有序化能让学生的数学学习从散点走向结构。正如数学规律的存在犹如那密密麻麻的蜂眼，但在最后却应当以整个的蜂巢示人。换言之，学生单个知识点的学习都应当是整个知识链学习、知识块学习中的一部分。知识的有序化、结构化是学生认知结构化的前提、基础及条件。比如教学《分数的意义》时，教师就需要对相关的数学知识进行梯度解读，从而让学生的数学学习有序可循、有迹可循、逐步深入。

在小学数学教材中，“分数”这一概念是分三个层次安排的。以苏教版为例，其一是安排在苏教版三年级上册，主要让学生认识到一个物体的几分之几；其二是安排在苏教版三年级下册，主要是让学生认识到由许多物体组成的整体的几分之几；其三是安排在苏教版五年级下册，主要是概括分数的意义。这三个层面，既可以理解为知识难度的三个层面，同时也可以理解为思维的三个层面。从学生数学素养提升的角度来看，从思维层面理解“分数”的三个层面，笔者以为就是为日常的教学明确了有序思路。在第一个层面的教学时注意帮助学生夯实分数知识学习的基础，在第二个层面教学的时候注意承上启下，在第三个层次教学的时候注意总结概括，那么学生对思维的体验就会更加深刻，思维水平自然也就会表现出高阶思维应有的水平。因此，在教学中，教师要循着数学知识的逻辑之序，引导学生逐步掌握分数的本质。这一努力的背后遵循着一个基本的逻辑关系，那就是数学知识的逻辑之序，就是学生思维发展的坚实阶梯。

三、循心理之序，让学生的数学学习无痕推进

有序化的数学教学，不仅要遵循数学知识的逻辑之序，还要遵循学生的心理之序。著名数学教育专家曹才翰认为，所谓的认知结构，就是学生头脑中的数学知识按照自己的理解的深度、广度等，结合了自己的感觉、知觉、记忆、思维、想象等，组成的一个内部的有规律的组织。为此，教师在教学中要研究学生的认知心理、认知特质、认知倾向等。要把握学生认知的阶段性、顺序性等，促进学生数学认知、思维的有序展开、有序推进等。

从心理的角度去讲究“序”，对小学数学教学而言是一个不小的挑战，作为小学数学教师，如果能够应对这一挑战，那么就能够打开小学数学教学新局面。在这里强调循心理之序，还有一层考虑，那就是站在学生的角度来看，小学生在学习数学知识的时候，是很难体会到自己在运用心理规律进行学习（尽管这是客观存在的事实），小学生的数学学习更多的是经验化、直觉化、程序化的过程。这个时候作为教师，只有洞察并把握住了学生的心理之序，才能让学生的学习过程行走在认知规律的轨道之上。如果这一过程能够做到无痕推进，那么学生的思维发展就会自然而然地从低阶走向高阶。而判断学生是否具有了高阶思维水平，依据之一就是看学生面对问题的时候，能否准确地判断问题解决的方向，即问题解决的思路是否准确。

一般来说，小学低年级学生的思维、认知是具体动作形态化的，小学中年级学生的思维、认知是具体形象化的，小学高年级学生的认知、思维已经开始向抽象逻辑化方向发展。作为教师，要循着学生的认知心理之序无痕地推动学生的认知。在教学中教师可以设计核心的问题、有序的操作、有序的活动等，激活、助推、训练学生的有序思维。比如《因数和倍数》这一部分内容，苏教版教材是通过乘法算式、除法算式来引导学生认识因数和倍数，进而引导学生写出一个数的因数和倍数。应该说，这样的教材编排方式能促进学生的高效学习，但笔者认为，这样的一种教学不利于学生对数学知识的心理内化。因数和倍数这部分内容属于概念性的内容，相对于其他的数学知识而言，这部分内容比较抽象。为了促进学生的数学认知及加快学生的心理内化速度，笔者在教学中组织了有序化的操作活动，将抽象化的数学知识寓于形象化、具体化的操作活动之中。具体而言，一是引导学生用24个或者36个小正方形拼成一个长方形；二是引导学生用符号化、数学化的算式来表征自我的操作；三是引导学生对算式中的每个数之间的关系进行研究。通过这样有序化的操作活动，学生逐渐认识到，一个数的因数和倍数是相互依存的；在一个算式中，因数往往是乘数或者是除数和商；在一个算式中，倍数往往是积，或者是被除数等。

在数学教学中，教师可以通过前测的方法把握学生的认知结构、认知状态等。在数学教学中，教师要基于学生的生命存在、生命成长视角来考量，学生的数学学习内容、方式等。著名教育家苏霍姆林斯基说，每一个学生都可能成为探索者、发现者、研究者。尊重学生的认知心理规律、遵循学生的认知心理规律，就能让学生的认知、思维规范化、条理化、有序化，就能让学生的认知、思维之苗从萌芽走向蓬勃发展。而做到这一点，能使学生的数学学习处于无痕的状态。这一状态下的学习，学生的收获更加丰富而有特点，这是因为学生在思维的时候，或者在用文字及公式表述自己的学习过程的时候，内在的高阶思维与外在的知识表述可以形成一个良好的相互融合的关系，这种关系可以很好地保证学生数学学习的无痕推进。

四、循学习之序，让学生的数学学习不断跃进

数学教学不仅要遵循数学知识的逻辑序，还要遵循学生的学习序。如果说，数学知识的逻辑序体现的是数学学科知识的逻辑，心理序体现的是学生的心理发展逻辑，那么学生的学习序应当体现教育学的逻辑。在数学教学中，教师可以应用问题链、任务链等，有序推进学生的数学学习，让学生的数学学习有序、有向。有经验的教师都明白，小学生在数学学习的过程中思维常常会表现出一定的跳跃性，这是这个年龄阶段思维的固有特点。作为小学数学教师，要尊重这一特点，从教育学的视角强调学习之序，本质上也是在强调数学教学的时候，学习的节奏要能够与学生的跳跃思维相吻合，而要做到这一点，又必须回到对学生学习规律的把握上。

众所周知，作为传统理科的数学学科，在学习的时候不能让学生死记硬背。而过去的数学教学往往滞留于“记忆”“复制”等层面，徘徊于学生的浅表学习层面，缺乏一种综合性、立体性、全方位的眼光。学生有序的思维、有序的认知离不开学生有序的学习。为此，教师要设计好学生的学习流程，不仅要让学生的数学学习活动有序，更要让学生的数学学习方法有序、思考有序、探究有序等。有序的教学策略、有序的学习策略等是学生数学学习的土壤。在数学教学中，教师可以设计核心问题、相关的操作活动、探究性的活动、针对性的练习等。比如教学《平行四边形的认识》这部分内容的时候，可以根据学生的具体学情及平行四边形的面积公式，用问题驱动、任务驱动的方式引导学生的有序学习。设置这样的问题，问题一是：平行四边形有怎样的特征？问题二是：平行四边形与长方形、正方形之间有怎样的关系？对于问题一，学生会通过直观的认识学习和掌握平行四边形的特征，然后会进行积极的实验验证、操作验证等。在这一过程中，可以分成两个层面让学生更好地学习平行四边形：一是平行四边形的角，二是平行四边形的边。通过对问题一的深入分析，为学生思考问题二奠定了基础。在对问题二进行思考的过程中，可以指导学生比较长方形、正方形和平行四边形的不同特征，进而得出正方形是长方形、长方形是平行四边形的科学结论。同时，通过问题二的解决，学生能更加深刻地认识和掌握平行四边形的特征。有序化的教学设计，为学生后面形成清晰的思维路径、认知路径等奠定了坚实的基础。

总而言之，小学数学教学应当聚焦有序，要求教师的教学设计要有组织、有顺序。在教学的过程当中一定要以学生为中心，也就是必须强调以学定教、因学施教、顺学而导。只有尊重学生学习的有序性，才能认识到学生的有序学习过程是由表及里、由此及彼的一个逐渐深化的过程。教学中，教师要积极挖掘与教学相关联的一些学生熟悉的事物，以使学生在观察、动手操作和讨论探究中更好地形成有序思维。有了有序思维作为支撑，学生的思维就能更快地突破低阶水平，实现向高阶思维发展的目的。有序教学，能将学生的数学有序学习过程转化为学生思维、认知和数学素养发展的良好过程。

作者单位   江苏省高邮市秦邮实验小学