本文系陕西省教育科学“十四五”规划2021年度课题《知识整合视角下小学数学“数与代数”领域深度教学的实践研究》阶段性研究成果，课题批准号SGH21Y0665。

在小学数学学习的过程中，数学知识体系为学生提供了逻辑严密的思维发展空间。很多爱学数学的学生能体会到数学的乐趣，但也有很多学生抵触数学。究其原因，没有良好的数感是数学学习的一大障碍。对于小学生而言，数感的发展很大程度上依赖于教师深度的问题设计。本文以“数与运算”教学为例，对知识整合理论发展小学生数感的问题设计进行深度探究。

一、问题的提出

数感是《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标》）提出的核心概念之一，是学生学习数学应具备的一项重要学科素养。

《课标》指出，数学课程要培养学生的核心素养，主要包括会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。具有良好的数感是学生用数学眼光观察现实世界的重要基础，而发展学生数感的策略，已成为小学数学教学亟需解决的实际问题。数感主要是指对数与数量、数量关系及运算结果的直观感悟，并能在真实情境中理解数的意义；能用数表示物体的个数或事物的顺序；能在真实情境中合理进行估算，并作出合理判断；能初步体会、表达事物蕴含的数量规律。

数感一词主要用于学前至小学二年级阶段“数与运算”的学习中，且随着学生建构数的意义和运算技能水平、认识和运用数之间的关联解决问题的水平以及建立新旧知识之间关联水平的逐级发展而发展。数感源于观察与思考，并不局限于感知范围。由此可见，作为数学学习的必备素养，数感是学生形成抽象能力的基础，建立良好的数感有助于学生理解数的意义和数量关系，能为进一步数的运算奠定良好基础，也能使学生初步感受数学表达的简洁与精确，激发了学生的好奇心，培养了学生持续学习的兴趣。

在小学阶段，数感是学生对数的直接感知，它是数字意识最直接的表现，是数学思维最基本的方式，培养学生的数感是教学的重要目标之一。从建构主义的观点来看，在“数与运算”这一内容领域，学生作为学习的主体，理解数表示的意义，知道数的组成、排列关系、大小等应成为培养学生数感所面临的首要问题。知识整合教学理论表明，尊重学习者的已有想法并将新旧想法进行对比，学习者能获得更大成功。知识整合教学正是通过诱出想法、添加想法、辨分想法、反思和整理想法等环节将学习者碎片化的知识转化为连贯性想法的过程。学生数感的有效提升，主要从数学活动经验中获得，课堂教学中教师的问题设计则起着主导作用。

二、发展学生数感的问题设计教学策略

小学生的数学学习主要依托于课堂教学实现，好的问题设计能有效启发学生思考，为学生打开自我认知的大门。一节课时间有限，不加设计的琐碎问题，首先割裂了学生的连续性思考，不利于学生系统思考能力的培养。其次，增加了学生浅度思考和无价值互动交流的可能。聚焦发展学生数感，如何精心设计问题则成为有效达成目标的必要条件，结合教学经验，笔者提出以下教学策略。

1.问题设计指向原有知识的诱出，准确把脉认知起点。

按照知识整合理论从学习科学的角度来看，人们总是将新信息与已有知识相联系来理解其含义，教师只有预先知道学生的认知起点，才能科学定位新知识的切入点。在“数与运算”的内容教学中，问题设计首先要指向学生原有的认知起点，通过已有知识的类推来理解新知识。无论是整数、分数、小数还是负数的产生与发展，这些都是人类生活实践的总结。教师要根据数的产生与发展特点，创设真实情境或操作活动，设计对应问题唤醒学生原有经验，使其充分交流、表达自己的想法，以建立正确的数的概念。

北师大版小学数学二年级下册第三单元“生活中的大数”第三课“比一比（万以内数的大小比较）”是在学生学习了100以内数的大小比较的基础上，讨论万以内数的比较方法。教学中，教师可以启发学生思考：“你用什么方法来比较这些数的大小？请你给大家讲一讲。”学生对于比较数的大小有着浓厚的兴趣，不断努力寻找更大的数，以拓展知识的边界。低年级的孩子甚至说出“亿”“兆”这样的计数单位，这些都为学生自主比较数的大小创造了有利的条件。

如在北师大版小学数学四年级上册“认识更大的数”这一单元中，计数单位是数的概念发展的主要线索，十进位值制计数法是认识大数的核心概念，数位顺序表是大数读写的重要抓手，认识到这些我们才能有效发展学生的数感，将学生的核心素养融入到课时教学中。教师可以这样进行问题设计：请你说出生活中的一些大数，告诉同伴这些数大约有多大呢（这些数是学生课前收集到的比十万还大的数）？你能读出全国的总人口数吗？你能写出某省的人数吗。说一说你是怎样读数和写这些大数的。多位数的读写方法是相通的，学生可以借助数级，也可以借助数位，我们的目的是鼓励学生主动迁移运用已有知识，并尊重学生个性化的想法。

实践认识论强调，认识来自于实践。认识有一个基于实践感性到抽象理性的发展提升过程，认识的发展从感性到理性，实践并未离去，而是由“显性”走向了“隐性”。数学是一门比较抽象的学科，小学生数学知识的学习离不开原有的知识结构以及生活经验。教师要改变传统讲授与灌输式的教学方法，在新知识的学习前，围绕学生原有知识的诱出来设计问题，使学生了解数的产生、发展等过程，建立起他们有意义的学习框架。

2.问题设计指向新知识的添加，定位最近发展区。

维果斯基的“最近发展区理论”认为，学生的发展有两种水平：一种是学生的现有水平，指独立活动时所能达到的解决问题的水平；另一种是学生可能的发展水平，也就是通过教学所获得的潜力。两者之间的差异就是最近发展区。教师扮演着学生发展促进者和帮助者的角色，学生已有数的概念和即将认识的数如何沟通、建立联系，这是问题指向的价值区域。问题设计应关注学生的最近发展区，教师要激发学生的学习积极性，为其提供“跳一跳才能摘到桃子”的机会，而不是直接发给他们“桃子”。

北师大版小学数学四年级上册第七单元“生活中的负数”，属于“数与代数”知识体系中“数与运算”的内容范畴。负数在生活中有时会运用到，但负数的实际意义却相对比较抽象，要准确理解负数的意义，教师可以从学生生活中常见的温度计出发，设计问题：“零上3摄氏度表示什么含义？零下3摄氏度又表示什么含义？”温度计模型对学生而言比较直观，具有“数轴”之形，借助温度计模型下的问题设计，有利于学生对负数意义的探究和理解。

在北师大版小学数学五年级上册第三单元“倍数与因数”的教学中，3的倍数的特征是在学生已经具有探索2、5倍数的特征经验基础上进行学习的。3的倍数尾数不具有某种规律，不像2、5倍数的特征那样直观，学生原有的学习经验无法借鉴，因此会陷入思考盲区。教师要设计基于新知添加的问题：“算一算3的倍数各个数位上的数字之和是多少？你能发现什么规律？”启发学生换个角度进行思考，帮助学生突破探索活动的障碍，逐步帮助学生发现3的倍数的特征规律。

教师要提供有利的先决条件，立足学生实际情况设计出具有挑战性的数学问题，促进学生有效、深度的思考。学生数感的发展是先前知识经验迁移的结果，原有的知识经验教师要清楚，同时也要明确学生对新知的理解程度。必要时教师要做好前测，只有对学生的认知起点和终点准确定位，才能科学架构学习目标，使问题设计更加精准。

3.问题设计指向新旧观念的辨分，整合碎片化认知。

学生学习“数与运算”相关内容时，原有的知识不应成为发展数感的绊脚石，而应成为深度理解的阶梯。数感的培养建立在新旧学习观念辨分的基础上，整合原有的“数与运算”各个方面的知识，将其建立联系，有助于学生理解相关领域数的意义以及数量之间的关系。碎片化的知识容易让学生产生错觉，无法将数的产生发展放在数的体系中整体思考理解，此时的问题设计要在知识的生长点上，启发学生在新旧知识之间进行深度思考，找到知识点之间的关联，进而形成连贯性的认识。

北师大版小学数学三年级下册第五单元认识分数“分一分(一)”，在“分物—产生分数—直观感受—创造分数—认识分数”这一系列学习活动中，教师要尊重学生的认知起点，还原分数形成的过程，引导学生深入认识分数。学生在不同形状的图形上分别涂出了一个图形，展示学生的作品后，教学中设计这样的问题：“大家每个人涂出的形状都不一样，为什么都可以用分数表示呢？”启发学生进一步理解涂色部分和整个图形之间关系的一个数，和图形的形状、大小无关。这样，学生对分数表示的意义理解会更加深刻。

“百分数的认识”是北师大版小学六年级数学上册第四单元第一课时的内容，本课是学生在学习了整数的认识、小数的认识、分数的认识以及熟练掌握通分的方法与技能后进行学习的，它是进一步学习百分数与分数、小数互化的基础，对于发展学生的数感以及在生活中应用百分数有着十分重要的作用。在学生学习了很多生活中的百分数后，教师可以这样进行问题设计：大家写出了这么多百分数，不同百分数之间有没有相同之处呢？汲取生活中的百分数知识，通过寻找不同百分数之间的区别和联系，引导学生去体会、表述和感悟不同百分数之间的相同处。在充分感知百分数材料的基础上，提炼概括出百分数的意义，这样对学生百分数数感的发展有很大的促进作用。

关于数的学习，学生头脑中原有的数和新学习的数没有形成非常清晰的对比和归纳，如此就会形成浅表性的学习状态。数的概念相互缺乏联系，不利于学生后续认知结构的完善，严重影响着学生数感的发展。通过指向新旧知识辨分的问题设计，找到知识之间的联系，打通概念之间的壁垒，就会消除学习中的困惑，促进学生建立关于数的体系化结构。

4.问题设计指向认知过程的整理，完善认知结构。

随着认识数的领域不断扩大，学生在学习中不断思考整数、小数、分数之间的联系和区别。综合来看，学生课前已有的想法、课程中提供的规范的数的概念、课程学习中自动生成的想法，将会成为学生思考的重要元素。教学中，教师要引导学生将这三类想法进行整合，即整理想法。学生通过对比、思考和重新评估先前已有想法，打通不同阶段和角度想法之间的联系，理解自相矛盾的想法，清晰地认识数的实际意义。

例如，在北师大版四年级下册“小数的意义和加减法”这一单元的教学中，学生利用元角分现实模型，通过分数理解小数的意义。学生已经知道1元平均分成10份，每份是1元的十分之一，也就是0.1元；1分是1元的百分之一，也就是0.01元。在学生较为直观地认识到分数和小数之间的联系后，教师可以设计这样的问题：把“1”平均分成1000份，其中的1份是，也可以表示为（     ），其中的59份是，也可以表示为（      ）。在学生思考的同时，借助直观图的展示，便于学生更好地理解小数的意义。

又如，在北师大版六年级上册“百分数”这一单元教学中，学生充分掌握了百分数的意义后，教师设计问题：“你在生活中还见过哪些百分数，表示什么意思？百分数与之前学过的哪些知识有联系？”以此从横向和纵向两个角度，启发学生思考整理有关百分数的知识，将百分数、分数、小数的认识进行沟通，寻求三者之间的联系和区别，同样也有助于学生深入地理解百分数的意义。

反思整理活动是数学学习的沉淀与思考，可促进学生重新审视学习过程和结果，助其查漏补缺，剔除矛盾的观念。对于数与运算的概念方法，指向认知过程整理的问题设计，有利于形成清晰的思维脉络，不但促进学生数感的发展，还有效帮助学生发展认知能力，为后续的学习提供了可供借鉴的学习经验。

三、结论与思考方向

小学数学“数与运算”内容的教学中，从某种程度上来讲，就是站在数学金字塔的高处在倒转人类探索发现“数与运算”的过程。“数与运算”是开启学生数学世界的大门，无论是整数、分数、小数，还是正负数的认识和运算，没有恰当的问题设计指向，学生对数的意义认识就不会全面和深刻，对各类运算的方法就无法清晰理解。发展学生的数感，实际上也是培养学生的数学学科素养。基于认知科学的理念，整合学生原有的想法，引导学生将新旧知识建立联系，促进学生一致性理解应成为课堂教学中重要的问题设计理念。依据这样的问题设计理念，从知识的诱出、添加、辨分、整理四个环节设计准确而有效的数学问题，才能在教学中引导学生找到“数与运算”的本质特征，为后续的数学学习奠定坚实基础。因此，教师在教学中要精心设计问题，重视数学知识抽象的现实情况，引导学生逐步感悟抽象思想，如此才能让学生学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界。

作者单位   陕西省西安市莲湖区远东实验小学