在高中数学教学中，数学建模的地位毋庸置疑，数十年前，包括数学在内的基础教育学科曾经兴起过一股建模研究的热潮，而数学建模在这一热潮当中就起着引领潮头的作用。关于数学建模，也有人做出这样的呼吁：为适应二十一世纪数学课程改革中加强应用性、创新性，重视联系学生生活实际和社会实践的要求，教师要开展数学建模教学与应用的实践研究，这样才可以培养学生的创造能力和应用能力。当前，数学建模在高中数学教学中的作用日益突出，已经公布的普通高中数学课程标准在界定数学学科核心素养的时候，六要素当中数学建模位列第三，起着承上启下的作用，由此再次彰显了数学建模的重要性。

从教学关系的角度来看，教学意味着教师的教和学生的学，教师研究数学建模，体现着对数学建模的重视，同时也意味着数学建模能力的培养可以成为数学教学的一条主要脉络。对于学生而言，数学建模不应是一个空洞的概念，学生所要获得的不是对数学建模这个概念的知晓，而是自身数学建模能力的养成。对于教师而言，在核心素养的背景之下，探究培养学生数学建模能力的思路，应是当前教育研究的一个重要命题。基于这样的认识，笔者一方面梳理了自己的教学实践，尤其是与数学建模的相关实践，同时研究高中生在数学建模中表现出来的认知特点，以期寻找到一条有效的数学建模能力培养路径。

一、数学建模能力是高中生数学核心素养的重要体现

首先必须认识到的一点是，数学建模能力是体现高中生数学学习品质的关键要素。这样的认识对于传统的数学教学而言是一个挑战，因为应试形态之下，教师关注的往往是学生对数学知识的掌握情况以及运用数学知识解答习题的水平。如果教师只是满足这样的认识，一个显而易见的后果就是容易让高中数学教学落入应试教育的窠臼，这是核心素养背景下所不能认同的。

数学学科核心素养与数学建模之间的关系是非常明显的，后者是前者的组成要素之一，由于数学建模具有高度的概括性，所以相对于其他的数学学科核心素养要素而言，数学建模更加重要。由此笔者做出一个判断，那就是学生的数学建模能力是他们自身数学学科核心素养的重要体现。对于这一判断，我们还可以有两点理解：一是数学建模不仅是数学学科核心素养的组成要素，而且还是一种学习方式。在数学建模的过程当中，学生有充裕的自主学习空间，这可以让学生有更多的机会体验数学知识在问题解决中的作用，体验数学与其他学科的联系，体验数学与生活的联系。数学建模的过程，是学生综合运用数学知识乃至其他知识的过程，因此学生的数学建模水平，实际上就是学生学习品质的充分体现，自然也是数学学科核心素养的重要体现。从这个角度认识数学建模的价值，可以让教师在培养学生数学建模能力的同时，更好地以建模能力作为学生学习评价的指标。二是数学建模能力是一种综合能力，根据有关课程专家的研究发现，数学建模能力是由阅读能力、推理能力、计算能力组成的，在学生运用这些能力的过程中，还涉及学生的自我监控能力。从这样的界定来看，说数学建模能力反映着学生的核心素养水平，是非常恰当的。

从已有的教学经验来看，当前高中生的数学建模能力普遍是比较缺失的，即使数学基础较好的学生，也只是在阅读能力、推理能力、计算能力、自我监控能力中的某一个方面表现较好，综合能力较强的比较罕见。在核心素养的背景之下，培养学生的数学建模能力也就显得尤为迫切。

二、核心素养背景下高中生数学建模能力培养的思考

在核心素养的背景下，要想有效培养学生的数学建模能力，首先要知道影响数学建模能力的要素有哪些。研究表明，影响学生数学建模能力的四个因素是动机态度、知识经验、认知过程、元认知。相应的，培养学生数学建模能力的策略就可以总结为：拓展最近发展区，强化问题意识，建构思维模式，调用监控系统等。在笔者看来，这是一种宏观认识——宏观认识的好处是对不同知识点的教学都具有一定的普适性，不足之处在于需要结合具体的数学知识进行重新构思。

以“函数的概念”为例，这一知识点在高中数学知识体系中的作用不言而喻，如何从数学建模的角度认识函数概念的教学，并在此过程中有效培养学生的数学建模能力，是教学设计与组织的重点。对此，笔者进行两个环节的重点设计：一是基于实例的分析，让学生通过分析与总结得出对函数的初步认识。此处向学生提供的实例，应当是学生比较熟悉的素材，这个素材可以来源于学生原有的认知基础，也可以来源于学生的生活经验。比如，自由落体运动当中，物体下落的高度与运动时间的关系。又比如，圆的面积与圆的半径的关系。这些实例相对比较简单，学生的思维加工难度也不大。为了促进学生认识的形成，教师可以采取变式的思路，用生活意味更浓、函数关系更隐秘的一些例子来深化学生对函数关系的认识。例如，站在国民经济的角度，选择国际上通行的恩格尔系数相关的数据，如下表：

在这个表中呈现的是城镇居民家庭恩格尔系数与时间之间的关系，这个关系相对于学生已经知道的函数而言并不那么明显，但是由于已经有了前面两个函数关系作为铺垫，学生在研究这个例子的时候，反而容易带着寻找函数关系的意识来研究这张表格。如此通过简单例子与复杂生活例子相结合的方式，可以让学生对函数形成初步认识。二是在上一步当中，学生对函数形成的初步认识，更多的是以一种潜意识方式存在于学生的思维当中的。从数学建模培养的角度来看，学生积累的这些认识奠定了数学建模的基础，但还要借助具体的方式来实现数学模型的建构，而这个过程也正是数学建模能力得以培养的过程。在这个环节，教师应当重点设计让学生将此前形成的已有认识转化为显性认识，然后再用数学语言描述出来。在具体的教学过程中，已有认识转化为显性认识可以这样进行引导：如果用前面两个例子来分析恩格尔系数这个实例，你能有什么样的发现？学生通过研究发现，在这个例子当中很难得到一个明确的恩格尔系数随着时间的变化而变化的关系，有一点可以肯定，那就是每年的城镇居民家庭恩格尔系数都有一个相应的对应值。在教学的过程中，教师要抓住“对应”这个关键词，并在此基础上演绎“唯一对应”的关系，如此函数关系也就更加清晰了。

其后运用数学语言描述分析、归纳结论时，重在体现数学语言的精确性。这里不妨再梳理一下通常情况下对函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数……

分析这段数学语言的时候，教师要引导学生对照上面的实际例子，去判断何为集合A，何为集合B，重点要判断对应关系f，事实证明，只要把这个关系梳理清楚，学生就可以将函数的定义与前面所举的例子进行完美对照，从而也就促进了函数概念或者函数模型的建立。从数学建模能力培养的角度来看，在上面的教学案例当中，从例子的列举，到分析与综合，到对应关系的梳理，再到数学语言的运用，就是一个数学建模的典型过程，在这样的过程当中，遵循相应的思路模式，数学建模能力就可以得到切实有效的培养。

三、高中生数学建模能力形成过程中的心理机制分析

一般认为，除了数学概念与规律的建构，在问题解决的过程中，数学建模能力也可以得到相应培养。这是因为学生在面对实际的数学问题时，首先需要根据题设条件进行数学模型的构建，然后通过思考选择需要的数学知识，从而有效解决数学问题。但需要注意的是，问题解决过程中的模型建构，与新知教学中的模型建构略有不同，当学生面临问题解决的时候，数学建模最重要的一个环节是将题目中的信息与大脑中的已有知识进行联系，如此才能寻找到数学建模的方向。其实分析到这一点，我们就应当意识到，无论是什么情况下的建模，从能力培养的角度出发，关键还是要掌握数学建模过程中的心理机制。

就笔者的研究而言，高中生在数学建模的过程中，重要的心理活动往往有这样几个：一是对素材的分析，二是对关系的推理，三是数学语言的组织（认知心理学中的“精加工”）。只有当学生在“精加工”的过程中发现逻辑关系时，数学模型才有可能被成功地建立，数学建模能力的培养也才有可能真正变成现实。

从核心素养培育的角度来看，无论是数学素材还是生活素材，都是需要进行思维加工的，这个过程当中有数学抽象的成分，也有逻辑推理的成分，这些都是数学学科核心素养的体现。总体来说，在核心素养的背景之下，培养高中生的数学建模能力，意义既在于培养学生应用数学的意识、培养学生各方面的能力，同时又在于彰显核心素养的价值。

作者单位   甘肃省酒泉市玉门市第一中学