本文系陕西省教育科学“十四五”规划2021年度课题《新高中课程方案框架下学生数学核心素养培育研究》阶段研究成果，课题编号：SGH21Y1151。

一、案例背景

《普通高中数学课程标准》指出：“数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律”。从特殊到一般，再从一般到特殊的认知过程是我们认知世界的基本途径之一。数学也如此，从特殊到一般，再从一般到特殊的探究数学问题的过程就是数学探究中的特殊与一般思想。特殊与一般的思想是中学数学中重要的思想之一，有的特殊问题，需要我们用一般性的规律去处理；有的一般性问题应通过研究其特殊性来揭示一般规律。事实上特殊与一般的辩证思想一直贯穿于解题之中，特殊化让认识问题更加全面，一般化让认识问题更加深刻。下面，笔者结合北师大2019版《数学必修》第二册第一章“三角函数”第四节“诱导公式与对称”来谈谈如何渗透特殊与一般思想，发展学生核心素养。

（一）教材分析

三角函数是中学数学重要的内容之一，诱导公式与对称充分体现了对称变换思想在数学中的应用，在练习中加以应用，让学生进一步体会角的任意性, 渗透从特殊到一般，一般到特殊的数学思想的探究过程，锻炼学生用联系和变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力。诱导公式在三角函数化简、求值中具有非常重要的工具作用，要求学生能熟练地掌握和应用。

（二）学情分析

本小节介绍的二至五组诱导公式在内容上既是公式一的延续，又是后继学习诱导公式与旋转的基础，它们与公式一和公式六、公式七组成的七组诱导公式，用于解决求任意角的三角函数值的问题以及有关三角函数的化简和证明等问题。

（三）课标要求

内容要求：借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式。

教学要求：应发挥单位圆的作用，引导学生结合实际情境，借助单位圆的直观，探索诱导公式。

（四）学习目标

1.借助单位圆及其对称性，通过观察推理得出正弦、余弦第二、三、四、五组的诱导公式，发展学生直观想象和数学抽象等核心素养。

2.能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题，发展学生逻辑推理和数学运算等核心素养。

3.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，领悟化归、特殊到一般、一般到特殊的数学思维方法，发展学生数学运算和逻辑推理素养。

4.获得探索新知与交流合作的乐趣,体验数学内在的结构之美，同时培养学生科学严谨的思维习惯以及合作探究的精神，发展学生学会学习和科学精神素养。

（五） 教学重难点

重点：借助单位圆，推导出正弦、余弦第二、三、四、五组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数。

难点：解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题。

（六）教法和学法

1.探究发现法。

2.讲授法。

二、 案例过程

（一）创设问题情境，引入新课

问题1：如何将任意角的正弦、余弦三角函数值转化为[0，2π]的角的正弦、余弦？

学生：利用所学终边相同角的公式一即可转化。

sin(α+2kπ)=sin α , cos(α+2kπ)=cos α, 其中，k∈Z。

问题2：如何将[0，2π]间的角的正弦、余弦转化到[0，[π2]]之间角正弦、余弦？

学生：任意角的正弦、余弦三角函数值可以利用公式一转化为[0，2π]间的正弦、余弦，那么[0，2π]间的角也可用一些公式转化到[0，[π2]]间角正弦、余弦。

设计意图：通过复习公式一，建立知识间的联系，让学生了解角终边之间的关系，为推导诱导公式作铺垫，提高学生解决问题、分析问题的能力。

（二）渗透特殊与一般思想，发展学生的核心素养

问题3：思考角-α与α终边位置有何关系?

学生：如图1，终边关于[x] 轴对称。

问题4：任意角α的终边与单位圆相交于点P([u]，ν) ,请学生思考点P关于 [x]轴对称的点P＇的坐标是什么?

学生：任意角α的终边与单位圆相交于点P([u]，ν)，点P关于[x]轴对称的点坐标是P＇ ([u]，-ν) 。

图1

教师：点P和P＇的橫坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反。即：

sin (-α)=-sin α，所以正弦函数ν=sin α 是奇函数；

cos (-α)=cos α，所以余弦函数[u=]cos α是偶函数。

记为公式二。

设计意图：通过图形观察角-α与α的终边位置关系，点P关于[x]轴对称的点P＇的坐标关系，进而得到诱导公式二，提高学生分析问题、概括能力和一般化能力，发展学生直观想象和数学抽象等核心素养。

问题5：思考角α+π与α终边位置有何关系?

学生：如图2，终边关于原点对称。

问题6：思考角α-π与α终边位置有何关系?

学生：如图2，终边关于原点对称。

问题7：任意角α的终边与单位圆相交于P([u]，ν)，请学生思考点P关于原点对称的点P＇的坐标是什么?

图2

学生：任意角α的终边与单位圆相交于点P([u]，ν)，点P关于原点对称的点坐标是P＇(-[u]，-ν) ，点P和P＇的橫坐标的绝对值相等且符号相反，纵坐标的绝对值也相等且符号相反。即：

sin(α+π)=-sin α，cos(α+π)=-cos α；

sin(α-π)=-sin α，cos(α-π)=-cos α。

记为公式三、四。

设计意图：通过图形观察角α+π与α、角α-π与α终边位置关系，点P关于原点对称的点P＇的坐标关系，进而得到诱导公式三、四，提高学生分析问题、概括能力和一般化能力，发展学生直观想象和数学抽象等核心素养。

问题8：思考角π-α与α终边位置有何关系?

学生：如图3，终边关于 [y]轴对称。

问题9：任意角α的终边与单位圆相交于点P([u]，ν)，请学生思考回答点P关于[y]轴对称的点P＇的坐标是什么?

图3

学生：任意角α的的终边与单位圆相交于点P([u]，ν)，点P关于[y]轴对称的点坐标是P＇ (-[u]，ν) 。点P和P＇的橫坐标的绝对值相等且符号相反，纵坐标相等。即：

sin (π-α)=sin α，cos (π-α)= -cos α。

记为公式五。

教师：公式五也可以由公式三、四推出。

sin (π-α)=-sin (α-π)=-(-sin α ) =sin α；

cos (π-α)=cos (α-π)= -cos α。

设计意图：通过图形观察角π-α与α终边位置关系，点P关于[y]轴对称的点P＇的坐标关系，进而得出诱导公式五，提高学生分析问题、概括能力和一般化能力，发展学生直观想象、数学抽象和逻辑推理等核心素养。

教师：诱导公式一、二、三、四、五。

sin (α+2kπ)=sin α，cos (α+2kπ)=cos α，其中，k∈Z；

sin (-α)=-sin α，cos (-α)=cos α；

sin (α+π)=-sin α，cos (α+π)= -cos α；

sin (α-π)=-sin α，cos (α-π)= -cos α；

sin (π-α)=sin α，cos (π-α)= -cos α。

体会轴对称、中心对称在推导公式过程中的本质特征。

（三）提升运算技能，尝试求解

例1：画出下列各组中的两个角的终边与单位圆的交点,说出它们的对称关系（例题和练习过程略）。

（1）[5π/4]和[π/4] ； （2）[2π/3]和[π/3]。

练习1：画出下列各组中的两个角的终边与单位圆的交点，说出它们的对称关系。

（1）[11π/6]和[π/6]； （2）[-11π/6]和[π/6]。

例2：求下列三角函数值：

（1）[sin][(-5π/4)]； （2）cos[2π/3]；

（3）[sin][11π/6]； （4）cos[(-31π/6)]。

练习2：求下列三角函数值：

（1）[sin][(-11π/3)] ； （2）cos[135°]；

（3）[sin][(-16π/3)]； （4）cos（[-1110°]）；

（5）cos[11π/4] ； （6）[sin][870°]；

（7）[sin][（-210°）；]（8）cos[（-83π6）]。

练习3：计算：

cos[(-7π/6)][sin][（5π/3]）[sin][(-9π/4)]

cos[10π/3]。

练习4：角α的终边与单位圆交于点P[（-12/13]，[5/13]）。分别写出点P关于 [x]轴、 [y]轴和原点对称的点的坐标，并求角π-α, -α，α+π，2π-α 的正弦函数值、余弦函数值。

（四）课后作业

1.习题1~4A组第4题。

2.习题1~4B组第3题。

设计意图：通过精讲多练，让学生进一步理解用诱导公式化简三角函数关系式、求任意角的三角函数值，提高学生解决与分析问题的能力。通过练习巩固本节所学知识，让学生感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识，发展学生逻辑推理和数学运算等核心素养。

（五）小结反思，感悟提升

1.从知识内容方面：角的终边对称、诱导公式一、二、三、四、五和诱导公式的应用等。

2.从思想方法方面：数形结合、特殊与一般思想方法等。

三、案例反思

（一）教学设计反思

在进行教学设计之前，反复阅读课程标准和教材，针对教材内容精心设计，努力让学生亲历知识发生、发展的过程， 感受“观察——概括——应用”等环节，积极投入到思维活动中来。通过与学生的互动交流，关注学生的思维发展，在课堂中逐渐展开教学内容，引导学生用已学的知识、方法解决问题，并获得知识体系的更新与拓展，进而收获成功。在知识的形成、发展过程中延拓思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力，充分发挥学生的主体作用，增强学生主体的合作意识，达到我们设计所预想的目标。

（二）教学过程反思

本节内容难度不高,教师的干预较多。在以后的教学中，对于一些较简单的内容，我们应放手让学生多一些探究与合作。随着教育改革的深化，教学理念、教学模式、教学内容等因素都在不断更新，作为数学教师我们要更新教学观念，着眼于学生的全面发展设计教学，关注学生个性和潜能的发展，使教学过程更加切合课程标准的要求，并且还要用全新的理论武装自己，让自己的课堂教学更有效。

作者单位 陕西省榆林市第三中学