《普通高中数学课程标准》中明确指出，高中数学课程要处理好数学学科核心素养与知识技能之间的关系，强调数学与生活以及其他学科的联系，提升学生应用数学解决实际问题的能力，同时注重数学文化的渗透。以此为导向，近几年的高考试题中融入了大量的以数学文化为背景的好题，不但考查学生的数学知识，而且有意识地培养学生的数学素养、道德情操，真正做到了全程育人、全方位育人。这些试题频见于期刊，这里不再赘述。笔者主要收集了一些在高三教学中发现的好题，以飨读者。

一、渗透数学文化，体现数学人文价值

1.数学文化渗透在立体几何中

例1.（2020年东北师大附中二模）我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中。《九章算术·商功》中有：“斜解立方，得两堑堵。斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣。” 下图解释了这段话中由一个长方体得到堑堵、阳马、鳖臑的过程。已知堑堵的内切球半径为1，则鳖臑的体积的最小值为______。

评析：我国古代有着非常辉煌的数学研究成果，涌现出了许多数学家和数学专著。《九章算术》是我国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，其内容十分丰富：全书不但总结了战国、秦、汉时期的数学成就，而且在数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。它的出现标志着我国古代数学形成了完整的知识体系。近几年的高考卷中有很多试题都是从数学名著中选取素材，考查知识的同时，也让学生了解中国灿烂的数学文化，培养学生的数学素养与情怀。

2.数学文化渗透在概率运算中

例2.（2020年山西太原模拟）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成。（清）陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余。体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之。”如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为______。

评析：七巧板游戏是大家喜闻乐见的，更是许多学生喜欢玩的智力游戏。该试题以七巧板为背景，考查几何概型概率的计算。将这种蕴含着数学原理的智力游戏改编成试题，增强了考题的趣味性，也加深了学生对数学的重新认识：数学是好玩的！

3.数学文化渗透在导数运算中

例3.（2020年重庆八中月考）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为[0/0]型。比如当[x→0]时，[ex-1/x]即为[0/0]型。两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在。因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化为利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。洛必达法则是在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。如，

评析：该试题给出洛必达法则的内容和运算方法，让学生快速理解并迁移到试题中，考查学生的读题能力、数学理解能力以及对知识的迁移能力。这一类试题大都取材于一些高等数学知识，比如一些特殊的函数高斯函数、黎曼函数、狄利克雷函数等，一些独特的数学概念泰勒级数、费马数、阿波罗尼斯圆、皮克定理、凹凸函数等，一些特殊的数学思想极限理论、逼近思想、分割思想等。这些知识激发了学生的学习兴趣，同时也让学生对数学未知领域充满了向往。

4.数学文化渗透于解析几何中

例4.（2020年陕西铜川一中期末）图1为陕西历史博物馆的藏品金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内敛，玲珑娇美。该杯形几何体的主体部分可以近似看作双曲线C:[x23]-[y29]=1的右支与直线[x=0,y=4,y=-2]所围成的曲边四边形MABQ绕[y]轴旋转一周得到的几何体。如图2所示，N、P分别为双曲线C的渐近线与直线[y=4,y=-2]的交点，曲边五边形MNOPQ绕y轴旋转一周得到的几何体的体积可由祖暅原理（幂势既同，则积不容异。意思是两等高的几何体，如果在同高处被截得的两几何体的截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等）求得，据此求得该金杯的容积是（杯壁厚度忽略不计）______ 。

评析：该试题是从历史文物入手，提炼出解析几何与立体几何知识相融合的数学试题，具有一定的综合性。前人为我们留下的一些经典音乐、绘画、雕塑、建筑等艺术作品作为人类文化的瑰宝，具有非凡的魅力，也常常蕴含着深刻的数学内容、经典的数学方法，许多学者从中持续不断地开发出一些新型的数学试题。这些试题提升了学生的审美情趣和艺术修养，同时也让学生了解到数学是无处不在的，数学的应用是多元的，数学的魅力是无限的，数学是美的！

5.数学文化渗透于数列综合应用中

例5.（2020年吉林第二次调研试题）牛顿（1643.1.4—1727.3.31），英国皇家学会会长，著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献。牛顿用“作切线”的方法求函数f(x)的零点时给出一个数列[xn]：满足[xn+1=xn-fxnfxn]，我们把该数列称为牛顿数列。如果函数[f(x)=ax2+bx+c(a>0)]有两个零点1、2，数列[xn]为牛顿数列，设[an=1nxn-2xn-1]，已知[a1=2],[xn>2,]则[an]的通项公式为______。

评析：该试题以伟大的物理学家牛顿命名的牛顿数列为试题背景，综合考查函数与数列知识，具有一定的难度，同时也让我们认识到牛顿不仅是一位杰出的物理学家，而且在数学领域也颇有建树，是一位百科全书式的“天才”。

6.数学文化渗透于程序框图应用中

例6.（2020年桂林调研考试）很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多数猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”“角谷猜想”。“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2。如此循环，最终都能得到1。下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图，若输入n的值为10，则输出的i的值_____。

评析：数学史上，长时期未能解决的数学猜想特别多，并且很多都是世界级的难题！这些猜想如同镶嵌在数学皇冠上的明珠，千百年来吸引着众多数学家为其不懈努力！本题以著名的“角谷猜想”为背景，让学生了解“角谷猜想”的基本内容并进行简单的应用，提升了学生的数学兴趣和解决这些猜想的无限动力！

二、 结合时政新闻，体现数学德育功能

例7.（2020年陕西省高三二模）2019年底，武汉突发新冠肺炎疫情，2020年初开始扩散。党中央、国务院面对“突发灾难”果断采取措施，举国上下，万众一心支持武汉，全国各地医疗队陆续增援湖北，纷纷投身疫情防控与救治病人之中。为了分担“抗疫英雄”的后顾之忧，某校教师志愿者开展“爱心辅导”活动，为抗疫前线医务工作者子女进行在线辅导。春节期间随机安排甲、乙两位志愿者为一位初中生辅导功课共3次，每位志愿者至少辅导1次，每一次只有1位志愿者辅导，则甲恰好辅导2次的概率为_____。

评析：这类试题往往以国家正在发生的时事新闻、新方针政策、公众共同关注的热点问题等为背景，甄选一个角度，抽象出数学模型，提炼出数学问题。既能达到一般试题的考查效果，也能达到育人的目的。这道试题解决起来并不难，学生可以很快地将题干部分转化成熟悉的概率模型。似乎前面的“情境”无关紧要、可有可无，但正如前面所言“我们要借助一切机会进行全程育人、全方位育人，将我国众志成城、万众一心、合力抗疫的英雄壮举融入到数学试题中去，培育学生的大爱大德大情怀”！

笔者引用几例以此说明数学文化越来越多地被我们数学工作者重视，正“润物细无声”地渗透到教学的各个环节中去！笔者也呼吁：让我们携起手来，共同挖掘数学文化，将其运用到教学中去，为培养新时代新人共同努力！

作者单位 陕西省西安市第七十中学 西安市庆安初级中学