本实证研究随机选取东台市实验中学、普通中学以及农村中学各一所，探究图式理论在勾股定理概念的教与学中的影响。

一、勾股定理证明图式的理论构想

勾股定理包含两个本质属性——前提条件“直角三角形”和结论“两条直角边的平方和等于斜边的平方”。这其实是一个典型的证明图式。勾股定理证明图式的条件和结论之间以系统相互影响，这时所建构的记忆痕迹是高度整合的结构。关于勾股定理在数学中的应用以及勾股定理在实际问题中的应用等都是这种图式的具体化。

勾股定理证明图式处于数学知识的网络图式之中，与其他图式存在一定的联系。仅以勾股定理的证明图式、勾股定理在数学问题中的应用图式、勾股定理在实际问题中的应用图式和一元二次方程图式四者为例。（如图）

图中的线段表示某种关系。一个典型的实例：勾股定理的学习直接影响勾股定理在数学中的应用，勾股定理在数学问题中的应用又直接影响勾股定理在实际问题中的应用，同时一元二次方程图式中的程序性知识大部分可以移植到勾股定理的图式中。

二、勾股定理证明图式的加工机制

1.勾股定理图式的获得。获得勾股定理证明图式可以通过图式的形成和图式的同化两种形式。图式的形成：学生要学习几个勾股定理的例子，这几个勾股定理的例子要在各槽的值上有所变化，以免学生形成不恰当的图式。在呈现勾股定理的两个属性时，若两个属性中前提条件“直角三角形”和结论“两条直角边的平方和等于斜边的平方”。那么学生就会把条件和结论作为勾股定理的一个常量，而实际上变量名称只是图式中的一个变量。为了防止这种倾向，在呈现例子中，不仅有前提条件“直角三角形”和结论“两条直角边的平方和等于斜边的平方”这两个变量，也有其他的变量，即在变量名称这一无关特征方面加以变化。学生同时学习这几个例子，并力求找出其共同之处，最后加以概括，形成图式。

2.勾股定理图式的精制。图式获得后，首先要进行第一类精制，这时的精制以巩固为主，即继续接触大量的证明勾股定理的方法和例子，使勾股定理的证明图式的槽及变量之间的约束关系变得更加鲜明、突出、稳固。其次要进行第二类精制，形成新的图式。在具有了精制图式的动机后，学生可以在变量槽中嵌入某种勾股定理的证明方法及其应用，从而形成复合图式。

3.图式的迁移功能。奥苏伯尔认为，学习的迁移是通过学生头脑中形成的认知结构而实现的。因此，他认为促进迁移就是要塑造学生良好的认知结构。而认知结构是我们关于某一领域内的所有观念的内容及其组织。为此，从某种意义上说，认知结构就是我们所讲的图式。这样看来，我们能够在其他情境中运用以前习得的知识关键在于我们头脑中形成了一定的图式。而图式贮存的知识具有一定程度的概括性，不是具体某一例子在头脑中的贮存，易于迁移。勾股定理及其逆定理之间的具体联系，可应用于勾股定理在数学问题和实际应用问题中的学习中去。

三、勾股定理证明图式的教学心得

首先，图式是一种高级的学习策略。研究结果表明，在数学概念学习中，个体图式学习策略的形成是十分重要的。一方面，它有利于知识的结构化。结构化的知识可被浓缩成框架，组成网络，容易记忆；另一方面，它能够优化学生的认知结构。被优化的认知结构使所存储的知识都是“产生式”的，知识结点间具有高度组织化、易于激活、便于迁移的特征。在数学问题解决中，图式策略使个体探究问题的张力扩大、指向性增强，提高了探索正确解题方案的效率。

其次，图式是一种高级的教学策略。常规教学强调以教师为中心，重视陈述性知识和知识的陈述，学生被动甚至机械地接受知识，难以形成框架清晰且富有连动性的认知结构。而图式教学策略，重视学生完整的知识结构的建构与活化，并因此而消减了因为概念等知识难度增加所带来的认知障碍。