[摘 要]文章基于知识本体，将“变式教学”的教学模式应用在了抽象的高等代数教学活动中，结合几个典型的教学案例阐述了概念性变式教学和过程性变式教学运用在本课程中的合理性、可行性、高效性以及对培养学生创新能力的重要性。

[关键词]知识本体 高等代数 变式教学 教学模式 教学案例

基金项目：陕西省高等教育教学改革研究项目（11BY65），陕西省教育科学研究“十二五”规划项目（SGH12354）。

高等代数课程在数学专业课程中隶属纯粹数学的分支，其建立起来的代数系统是很完善的、应用广泛的，但把握起来却是难以理解和非常抽象的。如何将这样一个抽象的理论呈现给学生，使学生能够较容易地接受以达到学习的高效性？笔者通过近十年的教学研究，提出了基于知识本体的“变式教学”的教学模式，这种模式大大提高了高等代数课程的学习效率，是一种值得推荐的教学模式。

所谓“变式教学”，是指以培养学生灵活转换、独立思考能力为目的，在教学过程中教师精心设计一些不断变更问题情境或者改变思维角度，由简到繁，由易到难的数学问题，使事物的非本质特征时隐时现，而事物的本质特征却始终保持不变的教学模式[1]。这样模式在变换知识表征的同时锻炼学生的思维能力，如果说“数学是锻炼思维的体操”，那么数学教师就是引领学生做体操的人。数学课堂的创新教学即变式教学在培养、操练学生的创新能力方面起着决定性作用。但我们必须把握一个原则，那就是目标导向应放在第一位，“在明确了实际教学目的的前提下，我们才能明确哪些是知识内容的本质特征，哪些是非本质特征，从而明确什么可以变，什么不可以变”[2]。

通过中美数学教师对数学知识理解的比较研究，马立平（Ma,1999)发现，中国教师强调对概念进行多角度理解，而美国教师则比较重视操作过程。在教学中注意提倡多种不同的算法和多种不同理解，被认为是“中国数学教学的一个重要特征”；同时中国的教学模式呈现一种有层次的推进教学模式，彭恩霖（Paine,1990)根据她1986年-1987年对中国教学的实地研究，把中国教学法描述为“鉴赏家”模式。这一模式的特征是，课堂在教师言语控制下由浅入深逐层推进。她认为中国课堂教学用清晰优美的语言把知识由浅入深地传授给学生，这一过程的展开包含着艺术的成分；另外通过对东西方数学课堂教学的比较研究我们发现中国的教学一直都在寻找不同的问题解决途径，上世纪80年代，密歇根大学斯蒂文森（Stevenson)领导的研究小组对中、日、美三国学生的数学成绩进行了一系列比较研究。发现来自日本、中国大陆和中国台湾的学生数学能力远高于美国学生。这些研究是基于对800节小学数学课的课堂观察，采用系统时间抽样和叙事观察的方法。有以下结论：（1）在东亚课堂中，同一数学概念用不同方法表征的实践普遍比美国课堂多；（2）中日两国教师通常会在一个抽象概念之后提供一些具体操作的巩固练习，美国教师则较少这么做；（3）学生数学思考的质量依赖于学生对问题的反应和教师如何提出问题两个方面。与东亚相比，美国教师不太会采用什么技巧去激发学生的建设性思考和对数学的概念性理解。

基于以上变式教学研究的背景，我们清楚地看到变式教学作为一种传统和经典的中国数学教学方式在中国由来已久，外国学者的变异理论和脚手架理论为中国的变式教学理论提供了认识论基础和理论支撑，这种教学是提高数学课堂教学效果，减轻学生负担的有效途径，对它的理解将有助于对中国数学教学的本质理解。如何理解变式，如何划分变式教学的类型，在很大程度上影响我们对它的理解，顾泠沅对变式教学进行了系统的实验研究，提出了“概念性变式”和“过程性变式”两个核心概念，基于数学概念的存在形态和数学概念的结构特征两方面的考虑在高等代数的教学中运用变式教学的 “概念性—过程性”两维度分类模式。

1.概念性变式教学

高等代数的教学中对各类问题的研究总是先给出确切的定义，然后从定义出发，利用严密的逻辑推理方法，依次推出性质、定理、推论等，从而建立各类问题的一套完整的理论体系，这是逻辑推理的严密性的一个具体体现。从这里不难看出，透彻地理解定义对于整章内容把握的重要性。例如：在行列式一章的讲解中，n阶行列式的定义是这一章的难点和重点，概念本身很抽象，我们采取概念性变式的教学方法，对概念从多角度让学生理解，用不完全归纳法让学生从二阶和三阶行列中观察总结出一下三个问题：（1）n阶行列式有几项在做代数和？（2）n阶行列式每一项取几个元素，这些元素都是如何取出来的？（3）每一项前的符合如何确定？通过数学归纳法学生很快能对这三个问题作出正确回答，我们通过改变概念的表征方式，改变概念的外延却不改变概念的本质的方法很快解决了困扰学生的n阶行列式的概念问题。

通过使用“概念性变式”，学生可以多角度地理解概念，从具体到抽象，从特殊到一般，通过排除背景干扰突出概念的本质属性，阐明概念的内涵。这样，通过概念性变式教学，帮助学生理解概念的本质和建立本质的联系，达到了高效学习的目的。

2.过程性变式教学

数学教学包括两种类型的活动：一是教陈述性知识（即概念），二是教程序性知识（即过程）。由于程序性知识（问题解决和元认知策略）是动态的，采取静止的概念性变式不能促进其学习过程。数学活动过程的基本特征是层次性，它包含为解决问题而采取的一系列不同步骤和策略。采取过程性变式，学生能够解决问题，并形成不同概念之间的层次关系或获得多种方法。例如：在讲到矩阵的可逆时，我们的《高等代数》教材[3]中并没有按照知识的形成过程和学生的认知规律来讲解，为了体现数学知识的层次性，同时为了让学生感知数学的形成过程，我们采用了过程性变式的教学方法分为三个步骤来讲解这部分内容：第一步矩阵可逆的定义和性质讲完后，学生在感知单位矩阵都是可逆的同时知道不是所有的方阵都可逆，那么自然要问什么样的方阵是可逆的？这就顺理成章地想到第二步矩阵可逆的判定了，当知道了什么样的矩阵可逆时显然想知道如何求出可逆矩阵了，这就是第三步矩阵可逆的求法了。相对于课本内容我们添加了4条矩阵可逆的判定定理[4]后才讲到了具体的求法，这样符合学生的认知心理。另外为了使学生建立良好的知识结构，我们在教材的安排上也进行了调整，在课本线性代数板块的教学中，将矩阵这一章节放在了线性方程组的前面，充分体现借助于行列式和矩阵两个工具来解决线性方程组的思想。

通过使用“过程性变式”，学生可以理解知识的起源以及用什么方法和在什么地方运用它们。这样可建立良好的知识结构。通过使用这种变式，帮助学生形成概念，解决问题，构建一个活动经验系统，进一步可以帮助学生理解知识的不同组成部分和完善知识结构。

通过研究我们得出，变式教学有一定的规律可循，目标导向应该放在第一位，明确在课堂中必须尊重知识本身从基础问题出发，遵循一定的方法通过正确的思维方式把概念和过程进行变式，变中求解，解中求变，最终还原问题本质，这在很大程度上提高了学习效率，是一种高效的学习模式。但是通过教学我们发现仍存在一些问题需要改进，例如教材中练习题的安排往往是一例一练的，属于基本练习，学生往往受思维定势的影响，练习时模仿例题，思维水平得不到提高，而且教材中的练习往往是静态的，与现实生活联系得很少，学生往往不知道知识该如何应用，这就需要我们教师不断地钻研教材，挖掘教材中开放性因素，设计变式练习。我们计划在接下来的研究中从知识本身的结构特点出发，设计变式练习，以求通过练习加强知识之间的相互联系，体现知识的系统性和结构性，这样有利于学生对知识进行灵活的迁移，有利于完善学生的认识结构和促进学生对知识本质的理解和掌握。

参考文献：

[1]张玉成.创造性能量培养与数学教学模式改革[J].深圳教育学院学报，1999(01).

[2]戚绍斌.略谈变式教学的若干原则[J].数学通报，1996(01).

[3]北京大学数学系.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1987.

[3]张禾瑞，郝炳新. 高等代数（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，1999.