【摘 要】 应用数学的教学一直是经济类专业教学安排的重点。本文提出将数学模型引入到经济应用数学教材和教学内容，在教学过程中加强对学生建模能力的培养, 注意推广最优化理论和方法的教学, 并就经济类专业应用数学课程的教学实践提出应注意的几个方面。

【关键词】 经济应用数学 数学建模 教学实践

近几十年来, 随着社会的不断进步和科学技术的迅速发展, 数学的应用范围在不断地扩大, 早已突破了传统的范围,扩展到包括生物、化学、医学等极其广泛的领域。特别是在经济、管理领域,存在着大量的数学定量和最优化问题, 亟待研究与开发。

经济应用数学的教学现状

经济应用数学课程是经济管理类统设必修课, 包括微积分、线性代数和概率论与数理统计课程。传统的经济数学课程无疑在打好学生的高等数学基础、培养学生的自学能力以及为后续课程的学习等方面起到相当大的作用。然而它的局限性也逐渐明显。现行经济数学课程存在的主要问题有：

在教学内容上, 传统的经济数学教材仅仅是数学专业教材的简写本, 部分教材更像一本题解。传统的教学和教材内容过分强调细节而将现代经济学、管理学中所需要的丰富的数学内容排除在外。现在的经济、管理中的问题很多是不确定的优化问题。但是大量的学时花费在计算、解题技巧等一些细节上, 以至于微积分和线性代数中有部分知识点没有时间讲, 使概率统计的学时被压缩, 导致了经济数学的教学内容与经济、管理学科的需要知识严重脱节。

在教学方法上, 传统的教学方法过于注重教师的作用, 以教师为中心的注入式、保姆式的教学方法占主导地位。体现在过于注重概念、定理的推导和证明、计算以及解题的技巧, 过分强调数学的逻辑性和严密性, 使学生觉得数学相当抽象, 从而对数学问题望而却步, 使数学远离我们的世界, 远离我们的日常生活。课堂教学中师生缺乏互动, 课堂常常是老师的“一言堂” 。学生完全是被动的学习, 长此以往, 不但无法使学生真正掌握所学的知识, 而且会助长学生的依赖心理, 养成思想懒惰的习惯, 严重妨碍学生创新意识和创新能力的培养, 更不要说将所学的知识运用到具体实践中去。在教学手段上数学的教学仍主要停留在粉笔加黑板的传统方式上, 这种方式在数学教学上虽然是必要的, 但是也有很大的弊病。如效率低下, 图形既不准确, 也缺乏动态效果等等。这就需要对传统的教学方式进行改革, 将现代化的技术手段引人到教学实践中。

在应用上, 数学的应用停留在古典几何和物理上, 忽视数学在经济、管理中的运用, 导致学生认为数学没有用, 主动应用数学的意识淡薄, 不利于培养学生运用数学知识解决实际问题的能力, 且不能满足后续专业课的需要。此外由于缺乏实践的机会, 使得理论和实践严重脱节。这导致学生产生数学无用论的观点, 甚至有部分学生数学学得还不错, 可是遇到实际问题就不知道怎么解决[2]。

国内外数学教学改革的趋势, 越来越注重数学的应用性。因此在教学中应注意将数学理论与经济问题相结合,加强应用能力的培养,把经济数学模型渗透到经济数学课程中。通过数学模型可以提高学生的实际操作能力和理解力, 通过教师的教和自己的实践达到百闻不如一练的效果。

如何加强对经济应用数学模型建模能力的培养

把数学与客观实际问题联系起来的纽带首先是数学建模, 一个好的数学模型往往要通过创造性的思维和大胆探索才能建立和改进。因此, 数学建模的基本知识已成为经济管理人员所必备的基础知识,而专业的应用数学工作者和经济理论研究者更需要具有熟练的数学技巧和丰富的想象力。

经济应用数学模型的两大应用方向为经济理论研究和实际经济管理的需要。我国对经济应用数学模型的研究,开始于20 世纪60 年代初, 但长期以来一直没有很大的进展, 这与从事数理经济学研究和应用的工作者向经济理论工作者普及经济数学方法和模型不够有关[1]。近年来, 随着社会主义市场经济体制的建立和不断完善, 数学模型( Mathematical Model ) 在经济管理领域的应用迅速发展, 社会经济建设过程中对专门人才的需求也日益扩大。因此, 高等院校在担负培养相关人才的同时更应加强这方面的理论研究。经济管理领域常用的数学模型有投入产出模型、经济计量模型、回归模型、时间序列模型、线性规划模型、系统动态模型和状态空间模型等等, 每一种模型都有自己的优点和局限性, 综合运用可使它们取长补短、相得益彰。在经济领域里, 应用最为广泛的模型是运筹学模型(Models of Operations Research) , 简称ORM, 常见的有运输模型、分配模型、网络模型、存贮模型、排队模型、可靠性模型、对策模型、动态规划模型、最优控制模型等, 每一种具体模型就是运筹学的一个分支。这类模型的一般形式通常为

其中x = (x1, x2 , .., xn 是由一组决策变量x1, x2 , .., xn 构成的n维向量;f1(x),f2(x), .. ,fp(x)是目标函数; g1(x),g2(x), .. , gm(x)是约束函数。

培养建立数学模型的能力是十分重要的, 这其中主要应注意培养以下几个方面的能力:

1) 理解实际问题的能力, 包括有广博的知识面, 搜集信息、资料和数据能力等;

2) 抽象分析问题的能力, 包括抓住主要矛盾, 选择设计变量, 进行归纳、联想、类比等创造能力;

3) 运用工具知识的能力, 包括自然科学、工程技术、计算机, 特别是数学知识等能力;

4) 试验调试能力, 包括反复修改等动手能力。

构造经济应用数学模型, 一般要以经济理论为依据, 因为没有经济理论的指导, 我们很难从国民经济各部门浩瀚的数据中找出彼此关联的变量, 也难以构造出反映现实经济关系的数学模型。同样, 即使在目前大多数经济工作者已经具备了一定的数学基础的时代, 在约束条件下求最优所使用的技术, 也还是被认为有一定深度的, 特别是在包含时间的决策问题上更是如此, 因为在某时刻的选择将会影响以后可采用的选择。实际上, 完全可能从一开始就把数学和经济学联系起来, 并且以一种容易处理的步骤搞清数学模型的建立过程和方法。在具体实践中建模的应用步骤是: 模型的制订; 模型参数的估计;模型的检验; 模型的应用( 经济预测) 。在构建实际经济问题的数学模型中, 特别是涉及实证分析的, 要大量采用有限数学的方法, 尤其是矩阵、矩阵代数与差分方程, 因为这些明显地与大部分实证研究基础的离散观测资料相吻合。目前西方发达国家致力于大规模的各类模型的研究, 例如, 美国的& 连接计划(LinkProject )。采用的数学模型包括了18 个国家、7447 个方程和3368 个外生变量, 用来进行经济预测和政策模拟的多国合作的研究活动[2]。因此, 在培养学生建模能力的过程中, 首先要求他们在学习自然科学和社会科学等有关分支的知识的同时, 特别要加强对经济领域基础知识的学习, 掌握它们的法则、规律和公式等, 这样才能有助于提高建模的实际工作能力; 其次在学习各门课程时, 要多做应用题, 这对提高分析问题能力和运用各种知识解决问题能力是不可缺少的基本训练; 第三要多接触实际问题, 有时还要深入工厂企业、公司等实际部门, 培养调查和提出问题的能力。

大力推广最优化理论和方法的教学

最优化( Optimization ) , 即在复杂环境中遇到的许多可能的决策中, 选择依据某种指标的最好决策的科学。在20 世纪30 年代末, 由于军事和工业生产发展的需要, 提出了一些不能用古典微分法和变分法解决的问题, 在许多学者的努力下, 逐渐产生、发展和形成了一些新的方法; 20 世纪50 年代后, 随着计算机的发展和经济生产的需要, 进一步形成了最优化理论以及相应的求解方法—— 最优化方法。目前这些理论和方法已在生产管理、系统控制、工程设计、经济规 划等领域得到了广泛的应用[3]。

数学规划( Mathematical Programming ) 是最优化理论的一个重要分支, 它是指n 个变量对单目标( 或多目标) 函数求极值, 而这些变量也可能受到某些条件的限制, 其数学表达式为

这里f(x)为目标函数(objective function) , ci(x) = 0, i ∈ E 及ci(x) ≤ 0, i ∈I 为约束条件( constraint condition ) 。若在此表达式中f(x) 、ci(x)均为线性函数, 则所得规划为线性规划(Linear Programming), 否则为非线性规划[4]。

在经济学分析中, 最优化是一个重要的主题。因此, 寻找无约束和有约束极值的古典微积分方法和数学规划的近期技术在构造、处理经济模型中占据着重要的位置。科学技术和生产的不断发展使得人们越来越重视一些大系统的最优化技术, 各种大型的社会经济系统、企业管理系统等的运行管理和控制都是大系统优化问题的典型例子。由于大系统性能的一些很小的改善都会带来巨大的收益, 因此, 研究大系统优化问题是非常有实用价值的。所以, 在解决实际问题时, 不仅要建立科学合理的数学模型, 还要掌握运用先进的计算机技术进行信息加工和数据处理。

教师在教案准备和教学组织时, 应侧重搜集和讲解经济领域最优化理论及方法运用的实例, 通过对这些实例的分析和讲解, 激发学生的学习兴趣, 使他们学会运用最优化的思想和方法分析处理问题。

经济类专业应用数学的教学需注意的几个问题

目前在各高等院校经济类专业开设的应用数学的教学过程中, 普遍加强了对学生在应用数学方法和手段分析问题、解决问题的能力培训。通常在经济类专业开设的应用数学课程主要有: 微积分、线性代数、概率论和数理统计、线性规划和运筹学等, 在这些课程的具体教学组织中, 应当注意以下几点:

1. 教学内容要符合基本要求

2006 年教育部数学与统计教学指导委员, 组织专家讨论制订了经济管理类本科数学基础课程教学基本要求。我们要按照要求, 设计教学内容。

2. 因材施教, 把握好内容的难易程度

因材施教, 就是考虑到我们地方高校生源特点,讲授数学概念、理论与方法尽量使学生易于接受, 在讲授重要概念时尽量选用经典的例子。还要注意到尽量结合专业配置例题和习题, 但避免强拉硬套和专业性过强的例子, 配置的例题应难易适度。老师讲课中过多选择历年考研真题会喧宾夺主, 影响学生对新的概念和方法的学习。

3.传授知识的同时, 融入数学思想方法

这种教学理念李大潜院士曾给予充分肯定。现在社会科学中使用数学已经被广泛接受了, 特别是在经济学方面。其次, 社会科学的主题, 关于复杂系统的理论是用文字表达的, 而它们的分析与比较用数学形式来表示会有很大的帮助。第三, 对于一些社会科学主题中比较模糊、甚至很难得到确切信息的概念, 数学可以提供一种领会的手段。

利用数学已经建立起来的一系列公式和定理, 特别是利用描述复杂事物之间关系的多元微积分和矩阵代数以及抽象空间的概念来研究经济现象, 确实给我们带来了极大的方便。尤其是贯穿在整个数学中的精确而客观的思考方法, 使得对经济问题的认识不再模棱两可。经济学数学化的重要标志, 是它不限于仅仅应用现有的数学工具, 而是与数学融为一体, 同步发展。例如, 线性规划的出现谁也说不清这是数学的突破还是经济学的突破[5]。随着我国社会主义市场经济体制的建立和成功加入世界贸易组织, 数学在经济领域的应用范围必将越来越广泛。这就给从事高等院校相关专业应用数学教学的教师提出了新的要求, 必须扎扎实实地深化教学改革, 才能培养全面适应新世纪社会主义现代化建设的各级各类人才。

参考文献:

[1]李大潜.素质教育与数学教学改革[J].中国大学教育,2000(3).

[2]李大潜.大力提倡和推动以问题驱动的应用数学研究[J]. 大学数学课程报告论坛, 2006(2).

[3]吴志坚.美国数学教学改革的回顾与展望[J].大学数学课程报告论坛,2006(3).

[4]江丕权.关于美国数学科学教育改革的简介[J].教育科学研究,2009(1).

[5]亚历山大洛夫A. D. 数学: 它的内容, 方法和意义[M] . 北京:科学出版社, 2001.