[摘 要] 目的：为了应对基础数学课程改革的不断推进和教师专业化水平提升的要求，师范类数学教育专业的教学需要进行着眼于PCK提升的改革。方法：文献考证与理论分析。结果：数学史指导并丰富教师的课堂教学，促进数学师范生对数学的理解和对数学价值的认识。结论：数学史与高等数学教学的融合，是建构师范生PCK知识的一条有效途径。

[关键词] 数学师范生 PCK 建构 数学史 高等数学教学 融合

基金项目：陕西省科学技术厅软科学项目（2008KR96）；陕西省科学技术厅软科学项目（2011KMR84）；陕西省教育科学“十一五”规划2010年立项课题（SGH10185）；陕西教育学院师资培训科研基金项目：（10SX18）。

教师的PCK 是1986年时任美国教育研究会主席的斯坦福大学教授舒尔曼（Shulman）针对当时美国教师资格认证制度的缺失而提出来的一个重要概念，PCK( Pedagogical Content Knowledge) 即学科教学知识。他认为这种知识是学科知识在教学应用中的转换形式, 是特定的内容与教学法的整合或转换, 是教师独特的知识领域,是他们专业理解的特殊形式。具体来说, 就是“对于一个人的学科领域中最一般地要教授的内容, 表达那些概念的最有用的形式, 最有效的比喻、说明、例子、解释以及演示, 一句话, 就是使人易于懂得该学科内容的表达和阐述方式”,它还包括“知道不同年龄和背景的学生在学习那些最经常教授的课题时己具有的一些日常概念和先入之见,这些日常概念和先入之见会使具体内容的学习变得容易或困难”[1]。

对PCK 这种 “能够帮助教师去建构课程内容,使教师知道怎样运用有效的类比(analogies) 、举例(illustrations) 、讲解(explanations) 和演示( demonstrations) 的方法来呈现学科内容,理解和预想学生进入学习过程时所拥有的概念和可能存在的困难等的知识”[2] ，自提出之后, 即成为世界教师教育研究的热点。 舒尔曼后来又重新定义了PCK, 认为它是教师在面对特定的学科课题时, 如何针对学生的不同兴趣与能力, 将学科知识组织、调整与呈现, 以进行有效教学的知识。这是一种使得教师与学科专家有所区别的专门知识。[3]

我国学者也从教学设计(包括目标、内容、对象、策略四要素) 和课堂教学(包括过程、方法、效果三要素) 等方面比较了小学数学新手和专家教师的PCK,并由此提出: PCK 的实质是一种“转化”的智能,是教师将学科知识“转化”成学生有效获得的一种学科教学智能,即教师根据课程理念、目标,进行系统思考,把学科知识有效地“转化”成教学任务,又由教学任务有效地“转化”为学生实际的获得……相比之下，专家教师能正确把握学生掌握知识的情况,并成功地把学科知识转化为学生的实际所得[4] 。

不难发现，国内外对PCK研究的共同点是：它是教师在教学情境中教师学科知识的转化形式。转化的程度是衡量教师专业化发展水平的一个指标。特别是在《国家中长期教育改革与发展规划纲要》颁布之后，有高素质的教师队伍，才有高质量的教育教学，已成为社会公众的共识。对承担职前教师培养任务的师范院校来说，如何提高师范生的职业能力，使职前培养对职后专业化水平提升的效用更大，成了亟待研究的重大课题。本文是从建构数学师范生PCK的视角，对数学师范生PCK建构与数学史、高等数学教学融合关系的思考，以期通过提高职前数学专业课教学的有效性，为数学师范生奠定职后“转化”的基础。

教师PCK的主要成分（出自华东师大数学系鲍建生教授的讲课稿)

数学师范生PCK获得途径的分析

学科最核心、最有价值的知识；知识间的联系；这两部分知识主要通过数学专业知识的学习和对中学教材研究课程的学习获得。如何将特定的知识呈现给不同学生的策略，这部分知识在校期间可以通过调动个人学习体验、反思学习经验和教学案例，有关教学、学习、课程理论知识的学习及基本教学技能的训练，教育见习等途径获得。至于学生在学习某一知识过程中容易误解和混淆的问题则在教育实习中，通过搜集学生对某一知识点学习的错误及其成因分析和对策研究，初步体验获得这一部分知识的方式和手段。

再分析学科最核心、最有价值的知识；知识间的联系这两部分知识的获得的方式——听课和自学。其中听课的质量是关乎这两方面知识获得的决定因素。如果一个师范生在大学基础课程学习的过程中，接收的都是经过加工的、完善的、最终的数学结果和形式，而欠缺对数学知识产生背景的了解、数学家进行数学创造过程的体悟，这种缺失对学生而言，很难对数学形成一个较为完整的认识，影响学生形成正确的数学观，和数学探究的意识和兴趣。这样的师范生，日后在教学实践中，怎么可能帮助自己的学生在自主探究的数学学习中，体验数学学习的成功，激发起继续学习数学的信心和勇气，建立起较高的数学学习的自我效能感，从而养成自信、主动、质疑等良好的个性品质，为学生未来幸福的生活奠定一生的基础。另外，学生学习的不成功，做教师的幸福感从何而来？一个没有幸福感的人，其生活质量从何谈起？

再者，教师的一个重要职责是为学生解惑，解惑的前提是要知惑，虽然对学生某一知识过程中容易误解和混淆的问题这一部分知识，师范生可以结合自己的学习体验和教育实习中的积累加以丰富。但是，在课程学习中，教师向师范生展示历史上数学家的一些错误认识，也可以帮助这些未来教师把握学生的疑惑之处。

教育取向的数学史研究对数学教育的启示

文化是一切非自然的、由人类所创造的事物或对象。众所周知，数学的对象并不是自然界的客观实在物，是数学家在长期实践中创造出来的，因此，数学是一种文化。文化的一个重要特征就是具有历史性，数学也不例外，任何时期的某一数学成果都不是某一时间的偶然产物，都伴随着历史的积淀。“数学的过去被永远地同化在它的现在和将来，这使得数学成为一个逐渐积累的科学。”[5]如何向学生展示数学的历史性？

19 世纪,德国生物学家海克尔( E. Haeckel ,1843-1919) 提出一个生物发生学定律:“个体发育史重蹈种族发展史。”德国著名数学家F. 克莱因(F. Klein , 1849-1925) 认为,数学教学至少在原则上要遵循这项定律,因为科学的教学方法只是诱导人去作科学的思考,而不是一开头就教人去碰冷漠的、经过科学洗练的系统。按照历史顺序教授数学,能使学生“看清一切数学观念的产生是如何迟缓;所有观念最初出现时,几乎常是草创的形式,只是经过长期改进,才结晶为确定方法,成为大家熟悉的有系统的形式”。

法国著名数学家庞加莱(H. Poincaré,1854-1912) 主张数学课程的内容应完全按照历史发展顺序展现给读者,他说:“动物学家坚持认为,在一个短时期内,动物胚胎的发育重蹈所有地质年代其祖先们的发展历史。人的思维发展似乎也是如此。教育工作者的任务就是让孩子的思维经历其祖先之所经历,迅速通过某些阶段而不跳过任何阶段。鉴于此,科学史应该是我们的指南。”[6]

就像美国数学家和数学史家克莱因认为的：“每一位中学和大学数学教师都应当知道数学史，有许多理由，但最重要用的一条理由或许是：数学史是教学的指南。”[7]

另外，西方学者对数学史数学功能的观点，汪晓勤教授在《古为今用：美国学者眼中数学史的教育价值》一文中总结为：1.数学史激发学生的兴趣，改变学生的数学观；2.数学原始文献的价值；3.数学史使数学人性化；4.数学家遇到的困难和挫折，同样也会为课堂上的学生所经历；5.学生学习数学的认知过程与数学史的发展过程相似；6.数学史帮助学生理解和欣赏数学；7.历史上的数学问题提供了丰富的社会文化信息。[8]等等，这些研究成果都启示我们，数学教学不能就数学讲数学，应该向学生展现历史上数学的知识、思想、方法产生过程中数学家的艰辛付出和火热的思考，告别只留下干巴巴框架的数学教学。通过对数学的演进与变革的了解，帮助未来的教师更好地理解数学，使他们这些未来教数学的人先感受到数学的亲切，才可能谈及传播亲切的数学。

数学史与高等数学专业课教学融合

爱好数学是教好数学的一个重要前提。高等数学学习的内容、方法、困难的程度与基础教育学段的数学有很大不同。如何帮助师范生保持对数学的喜爱、对数学问题探究的热情？如何加快适应高等数学的学习？首先，要针对高等数学的抽象性，克服知识的“天外之物性”，在教学中要对知识产生的合理性进行设计。为此，在数学师范生基础专业课的学习过程中，可恰当地借助一些数学史的知识，如微积分中导数概念的引入，介绍一下为什么人们当时要研究切线？让师范生认识到所引入的新主题乃是解决问题之需要,让他们产生足够的动机，从而获得良好的学习效果。讲洛比达法则时，介绍一下当年发生在法则背后的故事，一来让师范生感受数学家也是凡人，二来加深了对定理的印象。学习泰勒展开式时讲点数学史上张冠李戴的故事，学习隐函数求导时讲点“业余数学家战胜了专业数学家”的引子等等，帮助师范生树立学习数学的良好情感，认识到“数学不过是人类的一种文化活动,人人可学,人人可做,尽管并非人人都有数学家的才能;而从事这种文化活动的数学家也是平凡的人,同样会遇到困难、挫折、失败。了解这一点,师范生就不会为自己在学习过程中所遇困难、挫折和失败而灰心丧气,甚至错误地认为自己没有数学头脑了”。[9]同时，经历了体现数学历史性的教学，师范生才能树立真正关注学生数学情感的意识，宽容、平静地对待学生的错误，并给学生予以修正错误的时间。与此同时，增强了自己有关对学生学习某一知识过程中容易误解和混淆的问题的把握能力，丰富了自己如何辨析与纠正学生存在问题的策略。在某种程度上是对未来从教所需PCK的一种积累。

另外，有了数学史与高等数学的融合，数学师范生在学好基础课程的同时，还会习得一种到数学史的宝藏中寻宝的习惯，不仅丰富了自己的数学文化素养，也无形中获得了一种教学的策略，同时，从历史上数学家对数学知识理解的偏差，获得自己教学设计中对学生认知难度的理解，会更多地思考学生可能的困难和疑惑，从而提高教学的有效性。

综上，数学史更多地融合于师范生基础专业课的学习，有利于形成师范生良好的数学学习情感和动态可谬的数学观；形成追问知识发生、发展过程的习惯；能从历史相似性和历史发生教学法的角度来设计高速重演数学知识发生发展过程的教学；因为把握学生学习产生困难和犯错误的困惑，而给学生更多理解，为学生预留了更大的生成空间，同时，对学生更多的理解，还有助于形成良好的师生关系，让学生因亲其师而信其道，使这些未来教师可以尽早地获得教学的成功。然而，正确的数学观、对知识来龙去脉的追问习惯、对学生易出错和困惑的把握、主动思考学情去寻找学生最易接受的比喻、说明、例子、解释以及演示等素养，恰恰都是支撑师范生将来向成功教师迈进的PCK。所以，数学史与高等数学教学的融合是师范生建构PCK的有效途径。

参考文献：

[1]Shulman.L.(1986).Those Who Understand Knowledge in teaching .Education Reseacher.15(2).PP.9.

[2]袁维新.学科教学知识:一个教师专业发展的新视角[J].外国教育研究,2005,3:10-14.

[3]杨彩霞. 教师学科教学知识:本质、特征与结构[J].教育科学,2006,22(1)：60-63.

[4]上海市青浦实验研究所(2007).小学数学新手和专家教师PCK 比较的个案研究[J].上海教育科研,2007(10):55-58.

[5]冯振举，戴丽丽.国际HPM的发展历程及启示[J].西北大学学报(自然科学版)，2005，35（5）：654-656.

[6]Kline M. Logic Versus Pedagogy[J]. American Mathematical Monthly ,1970 ,77(3):264-282.

[7]克莱因M.古今数学思想(第1册)[M].张里京，译.上海：上海科学技术出版社，1979：2-3.

[8][9]汪晓勤,林永伟.古为今用：美国学者眼中数学史的教育价值[J].自然辩证法研究，2004（6）：73-76.